Um foguete de massa inicial \mathrm{m}_{0} se desloca no espaço, longe de corpos celestes, de modo que forças externas podem ser desprezadas. Ele ejeta gases com velocidade relativa constante u e taxa de ejeção de massa constante (dm / dt) = - α, com \alpha>0. Considerando a segunda lei de Newton para sistemas de massa variável:
\mathrm{m}(\mathrm{t}) \cdot[\mathrm{dv} / \mathrm{dt}]=\mathrm{F}_{\text {externa }}+\mathrm{u} \cdot[\mathrm{dm} / \mathrm{dt}],
o módulo da aceleração instantânea \mathrm{a}(\mathrm{t})=(\mathrm{dv} / \mathrm{dt}) do foguete é:
a) \mathrm{a}(\mathrm{t})=(\mathrm{a} \cdot \mathrm{u}) /\left(\mathrm{m}_{0}+\alpha \cdot \mathrm{t}\right).
b) \mathrm{a}(\mathrm{t})=\ln \left[\mathrm{m}_{0} /\left(\mathrm{m}_{0}-\alpha \cdot \mathrm{t}\right)\right]. (\mathrm{u} / \alpha).
c) a(t)=u \cdot \alpha \cdot\left(m_{0}-\alpha \cdot t\right).
d) a(t)=\left(m_{0}-\alpha . t\right) /(\alpha . u).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • massa inicial do foguete: m_{0}.
    • taxa de variação da massa: \dfrac{dm}{dt}=-\alpha, com \alpha>0 (ou seja, a massa diminui à razão \alpha).
    • velocidade relativa dos gases ejectados (em módulo) constante: u.
    • segunda lei para massa variável fornecida:
    m(t)\cdot\frac{dv}{dt}=F_{\text{externa}}+u\cdot\frac{dm}{dt}.
    • O foguete está longe de corpos celestes, logo F_{\text{externa}}=0.
  • Pedido do problema:
    • Determinar o módulo da aceleração instantânea a(t)=\dfrac{dv}{dt} do foguete (ou seja, a expressão para \dfrac{dv}{dt} — se pedem o módulo, apresentar o valor positivo).

Passo 2

Primeiro, obtenho a massa em função do tempo integrando \dfrac{dm}{dt}=-\alpha.
  • Integrando, com condição inicial m(0)=m_{0},
m(t)=m_{0}-\alpha\,t.
  • Observação de validade: isso vale enquanto m(t)>0, isto é para 0\le t<\dfrac{m_{0}}{\alpha}.

Passo 3

Agora substituo tudo na equação dada. Como F_{\text{externa}}=0, tem-se
m(t)\cdot\frac{dv}{dt}=u\cdot\frac{dm}{dt}.
Usando \dfrac{dm}{dt}=-\alpha e m(t)=m_{0}-\alpha t,
\bigl(m_{0}-\alpha t\bigr)\cdot\frac{dv}{dt}=u\cdot(-\alpha).
Isolando \dfrac{dv}{dt},
\frac{dv}{dt}=\frac{-u\alpha}{\,m_{0}-\alpha t\,}.

Passo 4

Interpretando o resultado:
  • A aceleração com sinal é
\frac{dv}{dt}=-\frac{u\alpha}{\,m_{0}-\alpha t\,}.
O sinal negativo indica que a velocidade do foguete varia na direção oposta à do gás ejetado (convenção de sinais usada).
  • O módulo da aceleração (valor positivo) é
a(t)=\left|\frac{dv}{dt}\right|=\frac{u\alpha}{\,m_{0}-\alpha t\,}.
Observação física: à medida que a massa diminui, o módulo da aceleração cresce (porque m(t) no denominador diminui).

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas:
  • (a) \mathrm{a}(t)=(\mathrm{a}\cdot u)/\bigl(m_{0}+\alpha t\bigr) — contém um símbolo ambíguo \mathrm{a} no numerador e tem m_{0}+\alpha t no denominador (massa aumentaria), não coincide com \dfrac{u\alpha}{m_{0}-\alpha t}.
  • (b) \mathrm{a}(t)=\dfrac{u}{\alpha}\ln\!\biggl[\dfrac{m_{0}}{m_{0}-\alpha t}\biggr] — é uma expressão com logaritmo; corresponde, dimensionalmente e algebraicamente, a uma variação de velocidade integrada, não ao valor instantâneo da aceleração. Não coincide.
  • (c) a(t)=u\alpha\bigl(m_{0}-\alpha t\bigr) — produto que teria unidades erradas (seria proporcional à massa, não a 1/massa). Não coincide.
  • (d) a(t)=\dfrac{m_{0}-\alpha t}{\alpha u} — é o recíproco (com fatores trocados), também não coincide.
Conclusão: nenhuma das alternativas (a)–(d) corresponde à expressão correta obtida.

Resposta

\displaystyle a(t)=\frac{u\alpha}{\,m_{0}-\alpha t\,}

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