Modelos planetários mais realistas indicam que a densidade de um corpo celeste pode variar significativamente com a profundidade, refletindo diferenças de composição, compressibilidade e história térmica. Em particular, considere um planeta idealizado como um corpo esférico, estático e isolado, de raio R, no qual a densidade volumétrica de massa não é uniforme, mas varia continuamente com a distância ao centro segundo a expressão \rho(r)=\rho_{0}(1-r / R), 0 \leq r \leq R, onde \rho_{0} é uma constante positiva e r representa a coordenada
radial medida a partir do centro do planeta. Admita que o campo gravitacional gerado pelo planeta seja descrito pela gravitação newtoniana e que a distribuição de massa apresente simetria esférica perfeita. Despreze efeitos relativísticos, rotações e deformações do corpo, e assuma que a constante gravitacional universal é G. Determine a expressão do módulo do campo gravitacional g® em um ponto localizado a uma distância r do centro do planeta, com r < R.
a) \mathrm{g}(\mathrm{r})=4 \pi \mathrm{G} \rho_{0} \mathrm{r} / 3.
b) \mathrm{g}(\mathrm{r})=2 \pi \mathrm{G} \rho_{0} \mathrm{r}^{2} /(3 \mathrm{R}).
c) \mathrm{g}(\mathrm{r})=2 \pi \mathrm{G} \rho_{0}\left[\mathrm{r}-\mathrm{r}^{2} /(2 \mathrm{R})\right].
d) \mathrm{g}(\mathrm{r})=4 \pi \mathrm{G} \rho_{0}\left[\mathrm{r} / 3-\mathrm{r}^{2} /(4 \mathrm{R})\right].

Passo 1

O enunciado dá um planeta esférico, estático, isolado, de raio R, com densidade que varia radialmente segundo
\rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r}{R}\right),\qquad 0\le r\le R,
onde \rho_{0}>0 é constante. Pede-se o módulo do campo gravitacional g(r) em um ponto a uma distância r do centro, com r<R. As informações relevantes listadas:
  • Raio do planeta: R.
  • Densidade volumétrica: \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r}{R}\right).
  • Gravitação newtoniana com constante G.
  • Simetria esférica perfeita (importante para usar apenas a massa interna).
    O objetivo: encontrar explicitamente g(r) para r<R.

Passo 2

Ideia física e fórmula que usaremos (explicada devagar):
  • Por simetria esférica e pelo teorema das cascas (ou pela lei de Gauss para gravidade), o campo gravitacional em um ponto a raio r só depende da massa total contida dentro da esfera de raio r, denotada M(r). A contribuição das camadas externas (r'>r) se anula.
  • Para um corpo esférico simétrico, a magnitude do campo gravitacional a distância r do centro (apontando radialmente para dentro) é dada por
g(r)=\dfrac{G\,M(r)}{r^{2}}.
Aqui M(r) é a massa contida na esfera de raio r. Essa fórmula é exatamente a versão newtoniana do campo produzido por toda a massa interior, como se fosse um ponto no centro.

Passo 3

Escrever a expressão para a massa interna M(r) em termos da densidade fornecida:
  • A massa de uma casquinha esférica de espessura dr' e raio r' é dM=4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
  • Logo, a massa total dentro de raio r é a integral
M(r)=\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\left(1-\dfrac{r'}{R}\right) obtemos
M(r)=4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\left(r'^{2}-\dfrac{r'^{3}}{R}\right)dr'.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas):
  • Integrar termo a termo:
\int_{0}^{r} r'^{2}dr'=\left[\dfrac{r'^{3}}{3}\right]_{0}^{r}=\dfrac{r^{3}}{3},
\int_{0}^{r} r'^{3}dr'=\left[\dfrac{r'^{4}}{4}\right]_{0}^{r}=\dfrac{r^{4}}{4}.
  • Portanto
\int_{0}^{r}\left(r'^{2}-\dfrac{r'^{3}}{R}\right)dr'=\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{1}{R}\cdot\dfrac{r^{4}}{4}=\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{4}}{4R}.
  • Multiplicando pelo fator 4\pi\rho_{0} temos
M(r)=4\pi\rho_{0}\left(\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{4}}{4R}\right).

Passo 5

Agora aplicamos g(r)=\dfrac{G\,M(r)}{r^{2}} e simplificamos:
g(r)=\dfrac{G}{r^{2}}\;4\pi\rho_{0}\left(\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{4}}{4R}\right).
Fatorando potências de r e simplificando:
g(r)=4\pi G\rho_{0}\left(\dfrac{r}{3}-\dfrac{r^{2}}{4R}\right).
Essa é a expressão fechada do módulo do campo gravitacional para 0\le r\le R.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (intuição física e unidades):
  • Comportamento próximo ao centro: para r\to0 o termo dominante é \dfrac{4\pi G\rho_{0}}{3}\,r, ou seja, g(r) cresce linearmente com r, coerente com um núcleo com densidade finita (como ocorre quando a densidade é regular no centro).
  • No centro r=0 obtemos g(0)=0, como esperado.
  • Dimensionalmente: G\rho_{0} tem dimensão de aceleração por comprimento, multiplicado por r dá aceleração — consistente.
  • Comparação com as alternativas: a expressão coincide com a alternativa (d).

Passo 7

Força extra de ânimo: você fez bem por seguir passo a passo! Essa técnica — calcular a massa interna por integração e aplicar g(r)=GM(r)/r^{2} — é padrão para problemas esféricos e vale para outras densidades \rho(r). Se quiser, podemos praticar com outro perfil (por exemplo \rho\propto r^{2} ou uniforme) para fixar.

Resposta

d) \mathrm{g}(r)=4\pi G\rho_{0}\left[\dfrac{r}{3}-\dfrac{r^{2}}{4R}\right]

Exercícios relacionados