Modelos planetários mais realistas indicam que a densidade de um corpo celeste pode variar significativamente com a profundidade, refletindo diferenças de composição, compressibilidade e história térmica. Em particular, considere um planeta idealizado como um corpo esférico, estático e isolado, de raio R, no qual a densidade volumétrica de massa não é uniforme, mas varia continuamente com a distância ao centro segundo a expressão
, onde
é uma constante positiva e r representa a coordenada
radial medida a partir do centro do planeta. Admita que o campo gravitacional gerado pelo planeta seja descrito pela gravitação newtoniana e que a distribuição de massa apresente simetria esférica perfeita. Despreze efeitos relativísticos, rotações e deformações do corpo, e assuma que a constante gravitacional universal é G. Determine a expressão do módulo do campo gravitacional g® em um ponto localizado a uma distância r do centro do planeta, com r < R.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
radial medida a partir do centro do planeta. Admita que o campo gravitacional gerado pelo planeta seja descrito pela gravitação newtoniana e que a distribuição de massa apresente simetria esférica perfeita. Despreze efeitos relativísticos, rotações e deformações do corpo, e assuma que a constante gravitacional universal é G. Determine a expressão do módulo do campo gravitacional g® em um ponto localizado a uma distância r do centro do planeta, com r < R.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um planeta esférico, estático, isolado, de raio
, com densidade que varia radialmente segundo
onde
é constante. Pede-se o módulo do campo gravitacional
em um ponto a uma distância
do centro, com
. As informações relevantes listadas:
- Raio do planeta:
. - Densidade volumétrica:
. - Gravitação newtoniana com constante
. - Simetria esférica perfeita (importante para usar apenas a massa interna).
O objetivo: encontrar explicitamentepara .
Passo 2
Ideia física e fórmula que usaremos (explicada devagar):
- Por simetria esférica e pelo teorema das cascas (ou pela lei de Gauss para gravidade), o campo gravitacional em um ponto a raio
só depende da massa total contida dentro da esfera de raio , denotada . A contribuição das camadas externas se anula. - Para um corpo esférico simétrico, a magnitude do campo gravitacional a distância
do centro (apontando radialmente para dentro) é dada por
Aqui
é a massa contida na esfera de raio
. Essa fórmula é exatamente a versão newtoniana do campo produzido por toda a massa interior, como se fosse um ponto no centro.
Passo 3
Escrever a expressão para a massa interna
em termos da densidade fornecida:
- A massa de uma casquinha esférica de espessura
e raio é . - Logo, a massa total dentro de raio
é a integral
Substituindo
obtemos
Passo 4
Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas):
- Integrar termo a termo:
- Portanto
- Multiplicando pelo fator
temos
Passo 5
Agora aplicamos
e simplificamos:
Fatorando potências de
e simplificando:
Essa é a expressão fechada do módulo do campo gravitacional para
.
Passo 6
Cheque rápido de consistência (intuição física e unidades):
- Comportamento próximo ao centro: para
o termo dominante é , ou seja, cresce linearmente com , coerente com um núcleo com densidade finita (como ocorre quando a densidade é regular no centro). - No centro
obtemos , como esperado. - Dimensionalmente:
tem dimensão de aceleração por comprimento, multiplicado por dá aceleração — consistente. - Comparação com as alternativas: a expressão coincide com a alternativa (d).
Passo 7
Força extra de ânimo: você fez bem por seguir passo a passo! Essa técnica — calcular a massa interna por integração e aplicar
— é padrão para problemas esféricos e vale para outras densidades
. Se quiser, podemos praticar com outro perfil (por exemplo
ou uniforme) para fixar.
Resposta
d)