Para um fluido incompressível em regime estacionário, a velocidade v(x, y) é dada por v(x, y)=(3 x^2 y,-2 x y^2).
  • (a) Calcule a divergência do campo de velocidade nabla cdot v e verifique se o fluido é incompressível.

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre um fluido incompressível em regime estacionário. A velocidade do fluido é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular a divergência desse campo de velocidade, , e verificar se o fluido realmente é incompressível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Para um campo de velocidade bidimensional nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y , a divergência é calculada da seguinte forma:
Isso basicamente mede a taxa de expansão ou contração do campo em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial, partial vxpartial x = partialpartial x (3x^2y) = 6xy . Dado que , derivamos em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial, partial vypartial y = partialpartial y (-2xy^2) = -4xy . Sabemos que , então derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, somamos essas duas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot v = 6xy + (-4xy) = 2xy

Resposta

A divergência do campo de velocidade é . Como a divergência não é igual a zero, concluímos que o fluido não é incompressível.

Exercícios relacionados