Para um fluido incompressível em regime estacionário, a velocidade
é dada por
.
- (a) Calcule a divergência do campo de velocidade
e verifique se o fluido é incompressível.
Passo 1
Beleza, temos um exercício sobre um fluido incompressível em regime estacionário. A velocidade do fluido é dada por
. Nosso objetivo aqui é calcular a divergência desse campo de velocidade,
, e verificar se o fluido realmente é incompressível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Para um campo de velocidade bidimensional
, a divergência é calculada da seguinte forma:
Isso basicamente mede a taxa de expansão ou contração do campo em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial,
. Dado que
, derivamos em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial,
. Sabemos que
, então derivamos em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos essas duas derivadas para obter a divergência:
Resposta
A divergência do campo de velocidade é
. Como a divergência não é igual a zero, concluímos que o fluido não é incompressível.