Um campo de velocidade de um fluido é descrito por v(x, y, z)=(y^2 z, x z^2, x y).
  • © Verifique se o campo é irrotacional.

Passo 1

Então, temos um campo de velocidade de um fluido dado por . Nosso objetivo aqui é verificar se esse campo é irrotacional. Para isso, vamos usar o conceito de rotacional (ou curl) de um campo vetorial, que nos ajuda a determinar se o campo possui ou não torção em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero em todos os pontos. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z, partial vxpartial z - partial vzpartial x, partial vypartial x - partial vxpartial y ) . O rotacional de é dado pela seguinte fórmula:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
  1. Primeira componente:
    partial vzpartial y = partial (x y)partial y = x
    partial vypartial z = partial (x z^2)partial z = 2x z
    Então, a primeira componente é partial vxpartial z = partial (y^2 z)partial z = y^2 .
  2. Segunda componente:
    partial vzpartial x = partial (x y)partial x = y
    partial vypartial x = partial (x z^2)partial x = z^2
    Então, a segunda componente é partial vxpartial y = partial (y^2 z)partial y = 2y z .
  3. Terceira componente:
    Então, a terceira componente é .

Passo 5

Juntando tudo, temos:
nabla times v = ( x - 2x z, y^2 - y, z^2 - 2y z )

Resposta

Como o rotacional não é igual a zero, o campo de velocidade fornecido não é irrotacional.

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