Um fluido newtoniano, incompressível e de densidade constante escoa de forma laminar, totalmente desenvolvido e estacionário em um tubo horizontal de raio R=1,5 cm. O gradiente de pressão imposto ao longo do tubo é constante e igual a dp / dz=-800 Pa / m. A viscosidade do fluido é mu=0,002 Pa.s. Considere que o escoamento é unidimensional no eixo z, com simetria axial.
a. A partir da equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas, obtenha a expressão para o perfil de velocidade uz(r).
b. Calcule a velocidade máxima no centro do tubo.
c. Determine a vazão volumétrica do fluido.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento laminar, newtoniano, incompressível, totalmente desenvolvido e estacionário em um tubo cilíndrico horizontal de raio R=1,5 cm, com gradiente de pressão constante dpdz=-800 Pa/m e viscosidade mu=0,002 P acdot s. Queremos:
a) o perfil de velocidade uz(r) a partir da equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas;
b) a velocidade máxima no centro do tubo;
c) a vazão volumétrica Q.

Passo 2

Sob as hipóteses de escoamento unidimensional no eixo z, estacionário, axisimétrico e totalmente desenvolvido, a equação de Navier– Stokes no sentido z reduz– se a
mu,1rddr!l(r,duzdrr);=;dpdz

Passo 3

Integramos primeiro
ddr!l(r,duzdrr);=;rmu,dpdz
para obter
r,duzdr;=;1mu,dpdz,r^22+C1
Pela simetria em r=0 temos derivada finita, logo C1=0. Dividindo por r e integrando de novo:
duzdr;=;1mu,dpdz,r2 Longrightarrow uz(r);=;1mu,dpdz,r^24+C2
Impondo n– deslizamento em r=R: uz(R)=0, vem
C2=-1mu,dpdz,R^24,
de modo que o perfil é
uz(r) = 14mu,dpdz,l(r^2-R^2r) = -,dp/dz4mu,l(R^2-r^2r)

Passo 4

A velocidade máxima ocorre em r=0:
umax = uz(0) = -,dp/dz4mu,R^2
Com -dp/dz=800 Pa/m, mu=0,002 P acdot s e R=0,015 m,
umax = 800,(0,015)^24cdot0,002 = 22,5 m/s

Passo 5

A vazão volumétrica é
Q =integral0^2pi!integral0^Ruz(r),r,dr,dtheta =2piintegral0^R-,dp/dz4mu,(R^2-r^2),r,dr =pi,( -dp/dz),R^48mu
Substituindo valores,
Q = picdot800,(0,015)^48cdot0,002 approx7,95times10^-3 m^3!/s

Resposta

a) uz(r)=-,dp/dz4mu,l(R^2-r^2r)
b) umax=-,dp/dz4mu,R^2=22,5 m/s.
c) Q=pi,(-dp/dz),R^48muapprox7,95times10^-3 m^3/s.

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