Considere o escoamento de um fluido newtoniano incompressível preenchendo a região anular entre a parede interna de um tubo cilíndrico fixo e a parede externa de uma haste mais fina, que se encontra ao longo do eixo central do tubo. Tanto o tubo quanto a haste são suficientemente longos. O raio interno do tubo é RRR, e o raio da haste é kR , onde 0<k<10. Um escoamento laminar totalmente desenvolvido é induzido pelo movimento contínuo da haste na direção axial (z) com velocidade constante V(V>0). A pressão p , viscosidade mu e densidade rho do fluido são consideradas constantes e uniformes.
a. A partir do balanço de momento no eixo z , obtenha a equação diferencial que rege o escoamento, eliminando os termos desprezíveis da equação geral de Navier-Stokes.
b. Baseado no problema, apresente as condições de contorno.
c. Resolva a equação diferencial para encontrar o perfil de velocidade axial vz(r).
d. Com base nos resultados, desenhe qualitativamente o gráfico de vz(r) em função do raio r .
e. Determine a distribuição da tensão de cisalhamento tau(r) e esboce seu gráfico em função de r.

Passo 1

O enunciado trata de escoamento laminar totalmente desenvolvido de um fluido newtoniano incompressível em regime estacionário, em um anel entre duas superfícies cilíndricas coaxiais de raios r=kR (haste interna, movendo-se com velocidade V no eixo z) e r=R (tubo externo, fixo). Para resolver usamos o balanço de momento na direção axial ( z) em coordenadas cilíndricas, desprezando variações temporais, acelera\c{c}~oes convectivas e gradiente de pressão.

Passo 2

Partimos da equação de Navier–Stokes para a componente z em regime estacionário e sem variação em z:
0 = -dpdz + mugl[1rddrl(rdvzdrr)gr]
Como não há gradiente de pressão imposto ( dp/dz=0), sobra a equação simplificada
1rddrl(rdvzdrr)=0

Passo 3

As condições de contorno de adesão (no-slip) são
vz(r=kR)=V, vz(r=R)=0

Passo 4

Integramos a equação ordinária em r. Uma primeira integração dá
rdvzdr=C1,
ou seja dvzdr=C1r. Integramos de novo:
vz(r)=C1ln(r)+C2
Impondo vz(R)=0 e vz(kR)=V encontramos
C1=Vln(k), C2=-C1ln(R),
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vz(r)=Vln(k)ln!l(rRr)

Passo 5

O perfil de velocidade vz(r) varia de vz(kR)=V até vz(R)=0 de forma logarítmica decrescente. Graficamente, em r no eixo horizontal e vz no vertical, é uma curva suave que parte de V em r=kR e cai até zero em r=R.

Passo 6

A tensão de cisalhamento radial é
tau(r)=mudvzdr =mu,Vr,ln(k)
Ela varia como 1/r, assumindo valor máximo em r=kR e mínimo em r=R. No gráfico versus r é uma hipérbole decrescente.

Resposta

a) 1rddrl(rdvzdrr)=0
b) vz(kR)=V, vz(R)=0
c) vz(r)=Vln(k)ln!l(rRr)
d) Perfil decresce logaritmicamente de V em r=kR até 0 em r=R.
e) tau(r)=mu,Vr,ln(k), decrescente ~ 1/r no gráfico.

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