Considere o escoamento de um fluido newtoniano incompressível preenchendo a região anular entre a parede interna de um tubo cilíndrico fixo e a parede externa de uma haste mais fina, que se encontra ao longo do eixo central do tubo. Tanto o tubo quanto a haste são suficientemente longos. O raio interno do tubo é RRR, e o raio da haste é kR , onde
. Um escoamento laminar totalmente desenvolvido é induzido pelo movimento contínuo da haste na direção axial (z) com velocidade constante
. A pressão p , viscosidade
e densidade
do fluido são consideradas constantes e uniformes.
a. A partir do balanço de momento no eixo z , obtenha a equação diferencial que rege o escoamento, eliminando os termos desprezíveis da equação geral de Navier-Stokes.
b. Baseado no problema, apresente as condições de contorno.
c. Resolva a equação diferencial para encontrar o perfil de velocidade axial
.
d. Com base nos resultados, desenhe qualitativamente o gráfico de
em função do raio r .
e. Determine a distribuição da tensão de cisalhamento
e esboce seu gráfico em função de r.
a. A partir do balanço de momento no eixo z , obtenha a equação diferencial que rege o escoamento, eliminando os termos desprezíveis da equação geral de Navier-Stokes.
b. Baseado no problema, apresente as condições de contorno.
c. Resolva a equação diferencial para encontrar o perfil de velocidade axial
d. Com base nos resultados, desenhe qualitativamente o gráfico de
e. Determine a distribuição da tensão de cisalhamento
Passo 1
O enunciado trata de escoamento laminar totalmente desenvolvido de um fluido newtoniano incompressível em regime estacionário, em um anel entre duas superfícies cilíndricas coaxiais de raios
(haste interna, movendo-se com velocidade
no eixo
) e
(tubo externo, fixo). Para resolver usamos o balanço de momento na direção axial (
) em coordenadas cilíndricas, desprezando variações temporais, acelera\c{c}~oes convectivas e gradiente de pressão.
Passo 2
Partimos da equação de Navier–Stokes para a componente
em regime estacionário e sem variação em
:
Como não há gradiente de pressão imposto (
), sobra a equação simplificada
Passo 3
As condições de contorno de adesão (no-slip) são
Passo 4
Integramos a equação ordinária em
. Uma primeira integração dá
ou seja
. Integramos de novo:
Impondo
e
encontramos
logo
Passo 5
O perfil de velocidade
varia de
até
de forma logarítmica decrescente. Graficamente, em
no eixo horizontal e
no vertical, é uma curva suave que parte de
em
e cai até zero em
.
Passo 6
A tensão de cisalhamento radial é
Ela varia como
, assumindo valor máximo em
e mínimo em
. No gráfico versus
é uma hipérbole decrescente.
Resposta
a)
b)
c)
d) Perfil decresce logaritmicamente de em
até
em
.
e) decrescente ~
no gráfico.
b)
c)
d) Perfil decresce logaritmicamente de
e)