Considere o escoamento completamente desenvolvido, laminar e estacionário de um óleo viscoso em uma calha plana de largura infinita e altura , inclinada com um ângulo o em relação à horizontal. O óleo possui viscosidade .s e densidade . Não há pressão imposta (escoamento por gravidade), e as paredes da calha são fixas (condições de não deslizamento).
a. A partir da equação de Navier-Stokes, determine o perfil de velocidade no sentido do escoamento.
b. Calcule a velocidade máxima do escoamento.
c. Determine a vazão volumétrica por metro de largura da calha.
Passo 1
O enunciado trata do escoamento laminar, totalmente desenvolvido e estacionário de um filme de óleo sobre um plano inclinado, com altura ,cm, ângulo , viscosidade ,P e densidade ,kg/. Como não há pressão imposta, o escoamento é por ação da gravidade e a superfície livre (em ) está isenta de tensão de cisalhamento, enquanto no fundo (em ) vale a condição de não deslizamento. Vamos usar a equação de Navier– Stokes em regime permanente e totalmente desenvolvido para obter o perfil .
Passo 2
Em coordenadas cartesianas com ao longo da calha e na vertical, a componente da equação de Navier–Stokes reduz-se a
ou seja
Passo 3
Integramos duas vezes em :
Aplicando obtemos . A condição de tensão nula na superfície livre é , o que dá