Considere o escoamento completamente desenvolvido, laminar e estacionário de um óleo viscoso em uma calha plana de largura infinita e altura h=1 cm, inclinada com um ângulo theta=30 o em relação à horizontal. O óleo possui viscosidade mu=0,25 Pa.s e densidade rho=900 kg / m 3. Não há pressão imposta (escoamento por gravidade), e as paredes da calha são fixas (condições de não deslizamento).
a. A partir da equação de Navier-Stokes, determine o perfil de velocidade u(y) no sentido do escoamento.
b. Calcule a velocidade máxima do escoamento.
c. Determine a vazão volumétrica por metro de largura da calha.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento laminar, totalmente desenvolvido e estacionário de um filme de óleo sobre um plano inclinado, com altura h=1,cm, ângulo theta=30^circ, viscosidade mu=0,25,P acdot s e densidade rho=900,kg/ m^3. Como não há pressão imposta, o escoamento é por ação da gravidade e a superfície livre (em y=h) está isenta de tensão de cisalhamento, enquanto no fundo (em y=0) vale a condição de não deslizamento. Vamos usar a equação de Navier– Stokes em regime permanente e totalmente desenvolvido para obter o perfil u(y).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas com x ao longo da calha e y na vertical, a componente x da equação de Navier–Stokes reduz-se a
0 = rho,g,sintheta + mu,d^2udy^2,
ou seja
d^2udy^2 = rho,g,sinthetamu

Passo 3

Integramos duas vezes em y:
dudy = rho,g,sinthetamu,y + C1,
u(y) = rho,g,sintheta2mu,y^2 + C1,y + C2
Aplicando u(0)=0 obtemos C2=0. A condição de tensão nula na superfície livre é dudy|y=h=0, o que dá
C1 + rho,g,sinthetamu,h = 0 Longrightarrow C1 = -rho,g,sinthetamu,h
Assim chega-se ao perfil
u(y) = rho,g,sintheta2mu,y^2 -rho,g,sinthetamu,h,y = rho,g,sintheta2mu;y,(2h - y)

Passo 4

A velocidade máxima ocorre em y=h, logo
umax = u(h) = rho,g,sintheta2mu;h^2

Passo 5

A vazão volumétrica por metro de largura é
q = integral0^h u(y),dy = rho,g,sintheta2mu integral0^h! (2h,y - y^2),dy = rho,g,sintheta3mu;h^3

Passo 6

Substituindo rho=900,kg/ m^3, mu=0,25,P acdot s, g=9,81,m/ s^2, sin30^circ=0,5 e h=0,01,m:
umax = 900cdot 9,81cdot0,5cdot(0,01)^22cdot0,25 approx0,883;m/s,
q = 900cdot 9,81cdot0,5cdot(0,01)^33cdot0,25 approx5,89times10^-3;m^2/s

Resposta

(a) u(y)=rho,g,sintheta2mu;y,(2h - y).
(b) umax=rho,g,sintheta,h^22muapprox0,883,m/s.
(c) q=rho,g,sintheta,h^33muapprox5,89times10^-3, m^2/s.

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