Um fluido newtoniano de viscosidade absoluta/dinâmica ( mu ) escoa entre duas placas planas paralelas que estão separadas por uma distância de 2 h , com o seguinte perfil de velocidades:
v(y)=vmax [1-(yh)^2]
Em que v é a velocidade, v max é a velocidade máxima e y é a distância medida perpendicularmente às placas. Calcule o módulo da tensão cisalhante no ponto h/10 em função de V max , mu eh.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o enunciado tá pedindo. A gente tem um fluido newtoniano (ou seja, a tensão cisalhante é proporcional ao gradiente de velocidade) escorrendo entre duas placas paralelas separadas por uma distância 2 h. A velocidade varia com a posição y assim:
v(y)=vmaxl[1-l(tfrac yhr)^2r]
O que a gente precisa achar é o módulo da tensão cisalhante no ponto em função de , e .

Passo 2

Teoria que vamos usar: para um fluido newtoniano, a tensão cisalhante é dada por
tau(y)=mu;dvdy
Aqui v(y)=vmaxl[1-(y/h)^2r] é a viscosidade dinâmica e dvdy = vmax,ddyl[1-(y/h)^2r] = vmax,l[-2,(y/h),tfrac1hr] = -,2,vmax,yh^2 é o gradiente de velocidade em relação a .
Então primeiro vamos derivar :

Passo 3

Agora a gente avalia esse gradiente em dvdy|y= h10 = -,2,vmaxh^2,h10 = -,2,vmax10,h = -,vmax5,h:
|tau|=mu;l|dvdyr| =mu;vmax5,h
O módulo da tensão cisalhante é
$$|\tau|=\mu;\Bigl|\frac{dv}{dy}\Bigr|
=\mu;\frac{v_{\max}}{5,h}.$$

Resposta

$$\boxed{\tau\Bigl(y=\tfrac h{10}\Bigr)
=\frac{\mu,v_{\max}}{5,h}}$$

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