A potência " P " que é necessária para fazer funcionar um compressor, varia de acordo com o diâmetro “D”, sua velocidade angular " \omega ", a vazão volumétrica “Q”, a massa específica " \rho " e a viscosidade do fluido " \mu ". Encontre uma relação entre essas variáveis através da análise dimensional na qual apareça a potência, a viscosidade e a velocidade angular, cada uma, somente em um grupo adimensional.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos, por análise dimensional, uma relação entre as variáveis que influenciam a potência necessária para um compressor. As perguntas e os dados que temos são:
  • O que se pede: determinar uma relação adimensional que envolva as variáveis dadas, de modo que a potência, a viscosidade e a velocidade angular apareçam cada uma somente em um grupo adimensional.
  • Variáveis fornecidas:
    • potência: P (grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional);
    • diâmetro: D;
    • velocidade angular: \omega (grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional);
    • vazão volumétrica: Q;
    • massa específica (densidade): \rho;
    • viscosidade dinâmica: \mu (grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional).

Passo 2

Vamos anotar as dimensões de cada variável (aqui eu explico o porquê de cada fórmula de dimensão):
  • Dimensão da potência P: potência é trabalho por tempo; trabalho tem dimensão de força vezes comprimento. Força tem dimensão M L T^{-2}. Multiplicando por comprimento L e dividindo por tempo T
    \text{dim}(P)=M L^2 T^{-3}.
    Aqui M é massa, L comprimento, T tempo.
  • Dimensão do diâmetro D: é um comprimento
    \text{dim}(D)=L.
  • Dimensão da velocidade angular \omega: é inverso do tempo
    \text{dim}(\omega)=T^{-1}.
  • Dimensão da vazão volumétrica Q: volume por tempo, volume tem dimensão L^3, então
    \text{dim}(Q)=L^3 T^{-1}.
  • Dimensão da massa específica \rho: massa por volume
    \text{dim}(\rho)=M L^{-3}.
  • Dimensão da viscosidade dinâmica \mu: unidade de viscosidade dinâmica é força·tempo/área, levando às dimensões
    \text{dim}(\mu)=M L^{-1} T^{-1}.
Explicação rápida: usamos apenas as três dimensões fundamentais M,L,T porque todas as quantidades dadas podem ser expressas com elas.

Passo 3

Aplicando o teorema de Buckingham (explicando o que ele nos diz): se temos n variáveis e as dimensões fundamentais são r, então podemos formar k=n-r grupos adimensionais independentes. Aqui:
  • número de variáveis n=6 ( P,D,\omega,Q,\rho,\mu);
  • número de dimensões fundamentais r=3 ( M,L,T);
  • portanto número de grupos adimensionais k=6-3=3.
Logo devemos encontrar 3 grupos adimensionais independentes (geralmente chamados \Pi_1,\Pi_2,\Pi_3). Como o enunciado exige que P,\mu,\omega apareçam cada um em exatamente um grupo, vamos construir cada \Pi centrado em uma dessas variáveis, combinada com um conjunto de variáveis repetidas.

Passo 4

Escolha das variáveis repetidas (explico o critério): precisamos de r=3 variáveis repetidas que sejam independentemente dimensionais (isto é, cujas dimensões formem um sistema linearmente independente). Além disso, para atender à restrição do enunciado, não podemos escolher P,\mu,\omega como repetidas, porque cada uma deve aparecer apenas em seu próprio \Pi. Restam como candidatas: D,Q,\rho. Essas três são convenientes porque entre elas cobrem M,L,T e são linearmente independentes em termos dimensionais. Então escolhemos as variáveis repetidas: D, Q, \rho.
Explicação: variáveis repetidas servem para montar os grupos adimensionais; qualquer variável não repetida será combinada com potências das repetidas para formar um grupo sem dimensões.

Passo 5

Formação de \Pi_1 contendo P (passo a passo de resolução algébrica):
Proponho
\Pi_1 = P\, D^{a}\, Q^{b}\, \rho^{c},
onde a,b,c são expoentes a determinar para que \Pi_1 seja adimensional.
Agora escrevemos as dimensões totais de \Pi_1 usando as dimensões de cada variável e igualamos os expoentes de M,L,T a zero.
Dimensões:
  • P contribui M^1 L^2 T^{-3}.
  • D^{a} contribui L^{a}.
  • Q^{b} contribui L^{3b} T^{-b}.
  • \rho^{c} contribui M^{c} L^{-3c}.
Somando expoentes para cada dimensão e igualando a zero:
  • Exponente de M: 1 + c = 0 \Rightarrow c=-1.
  • Exponente de T: -3 - b = 0 \Rightarrow b=-3.
  • Exponente de L: 2 + a + 3b -3c = 0. Substituindo b=-3 e c=-1: 2 + a + 3(-3) -3(-1) = 2 + a -9 +3 = a -4 = 0 \Rightarrow a=4.
Portanto
\Pi_1 = P\, D^{4}\, Q^{-3}\, \rho^{-1} = \frac{P D^{4}}{\rho Q^{3}}.
Breve interpretação: \Pi_1 combina as escalas de potência, geometria e vazão de forma adimensional.

Passo 6

Formação de \Pi_2 contendo \mu (novamente, passo a passo):
Proponho
\Pi_2 = \mu\, D^{a'}\, Q^{b'}\, \rho^{c'}.
Dimensões:
  • \mu: M^1 L^{-1} T^{-1}.
  • D^{a'}: L^{a'}.
  • Q^{b'}: L^{3b'} T^{-b'}.
  • \rho^{c'}: M^{c'} L^{-3c'}.
Igualando expoentes:
  • M: 1 + c' = 0 \Rightarrow c'=-1.
  • T: -1 - b' = 0 \Rightarrow b'=-1.
  • L: -1 + a' + 3b' -3c' = 0. Substituindo b'=-1 e c'=-1: -1 + a' + 3(-1) -3(-1) = -1 + a' -3 +3 = a' -1 = 0 \Rightarrow a' = 1.
Logo
\Pi_2 = \mu\, D^{1}\, Q^{-1}\, \rho^{-1} = \frac{\mu D}{\rho Q}.
Interpretação física: \Pi_2 é parecido com um número de inverso de Reynolds (ou relacionado à viscosidade relativa à inércia associada à vazão), e está relacionado ao efeito da viscosidade comparado às forças de inércia na vazão.

Passo 7

Formação de \Pi_3 contendo \omega:
Proponho
\Pi_3 = \omega\, D^{a''}\, Q^{b''}\, \rho^{c''}.
Dimensões:
  • \omega: T^{-1}.
  • D^{a''}: L^{a''}.
  • Q^{b''}: L^{3b''} T^{-b''}.
  • \rho^{c''}: M^{c''} L^{-3c''}.
Igualando expoentes:
  • M: 0 + c'' = 0 \Rightarrow c''=0.
  • T: -1 - b'' = 0 \Rightarrow b''=-1.
  • L: 0 + a'' + 3b'' -3c'' = 0. Substituindo b''=-1 e c''=0: a'' + 3(-1) = a'' -3 = 0 \Rightarrow a''=3.
Portanto
\Pi_3 = \omega\, D^{3}\, Q^{-1} = \frac{\omega D^{3}}{Q}.
Interpretação: \Pi_3 relaciona a rotação (escala temporal) com a vazão (escala volumétrica); frequentemente aparece em problemas rotativos como um parâmetro que liga velocidade de rotação e vazão caracterizada pela geometria.

Passo 8

Concluímos (aplicando o teorema de Buckingham): como existem três grupos adimensionais independentes, qualquer relação física entre as variáveis pode ser escrita como uma relação funcional entre esses três grupos. A forma mais prática é isolar \Pi_1 (o que corresponde à potência adimensional) como função dos outros dois:
\Pi_1 = \Phi(\Pi_2,\Pi_3),
ou seja,
\frac{P D^{4}}{\rho Q^{3}} = \Phi\!\left(\frac{\mu D}{\rho Q},\,\frac{\omega D^{3}}{Q}\right),
onde \Phi é uma função adimensional a ser obtida por experiência, simulação ou análise mais detalhada.
Observação final: as três quantidades requisitadas ( P,\mu,\omega) aparecem cada uma em apenas um dos \Pis, como o enunciado requisitava.

Resposta

\Pi_1=\frac{P D^{4}}{\rho Q^{3}},\qquad \Pi_2=\frac{\mu D}{\rho Q},\qquad \Pi_3=\frac{\omega D^{3}}{Q}
\frac{P D^{4}}{\rho Q^{3}}=\Phi\!\left(\frac{\mu D}{\rho Q},\,\frac{\omega D^{3}}{Q}\right)

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