A potência " P " que é necessária para fazer funcionar um compressor, varia de acordo com o diâmetro “D”, sua velocidade angular "
", a vazão volumétrica “Q”, a massa específica "
" e a viscosidade do fluido "
". Encontre uma relação entre essas variáveis através da análise dimensional na qual apareça a potência, a viscosidade e a velocidade angular, cada uma, somente em um grupo adimensional.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos, por análise dimensional, uma relação entre as variáveis que influenciam a potência necessária para um compressor. As perguntas e os dados que temos são:
- O que se pede: determinar uma relação adimensional que envolva as variáveis dadas, de modo que a potência, a viscosidade e a velocidade angular apareçam cada uma somente em um grupo adimensional.
- Variáveis fornecidas:
- potência:
(grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional); - diâmetro:
; - velocidade angular:
(grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional); - vazão volumétrica:
; - massa específica (densidade):
; - viscosidade dinâmica:
(grandeza a aparecer em exatamente um grupo adimensional).
- potência:
Passo 2
Vamos anotar as dimensões de cada variável (aqui eu explico o porquê de cada fórmula de dimensão):
-
Dimensão da potência
: potência é trabalho por tempo; trabalho tem dimensão de força vezes comprimento. Força tem dimensão . Multiplicando por comprimento e dividindo por tempo dá Aquié massa, comprimento, tempo. -
Dimensão do diâmetro
: é um comprimento -
Dimensão da velocidade angular
: é inverso do tempo -
Dimensão da vazão volumétrica
: volume por tempo, volume tem dimensão , então -
Dimensão da massa específica
: massa por volume -
Dimensão da viscosidade dinâmica
: unidade de viscosidade dinâmica é força·tempo/área, levando às dimensões
Explicação rápida: usamos apenas as três dimensões fundamentais
porque todas as quantidades dadas podem ser expressas com elas.
Passo 3
Aplicando o teorema de Buckingham (explicando o que ele nos diz): se temos
variáveis e as dimensões fundamentais são
, então podemos formar
grupos adimensionais independentes. Aqui:
- número de variáveis
( ); - número de dimensões fundamentais
( ); - portanto número de grupos adimensionais
.
Logo devemos encontrar 3 grupos adimensionais independentes (geralmente chamados
). Como o enunciado exige que
apareçam cada um em exatamente um grupo, vamos construir cada
centrado em uma dessas variáveis, combinada com um conjunto de variáveis repetidas.
Passo 4
Escolha das variáveis repetidas (explico o critério): precisamos de
variáveis repetidas que sejam independentemente dimensionais (isto é, cujas dimensões formem um sistema linearmente independente). Além disso, para atender à restrição do enunciado, não podemos escolher
como repetidas, porque cada uma deve aparecer apenas em seu próprio
. Restam como candidatas:
. Essas três são convenientes porque entre elas cobrem
e são linearmente independentes em termos dimensionais. Então escolhemos as variáveis repetidas:
.
Explicação: variáveis repetidas servem para montar os grupos adimensionais; qualquer variável não repetida será combinada com potências das repetidas para formar um grupo sem dimensões.
Passo 5
Formação de
contendo
(passo a passo de resolução algébrica):
Proponho
onde
são expoentes a determinar para que
seja adimensional.
Agora escrevemos as dimensões totais de
usando as dimensões de cada variável e igualamos os expoentes de
a zero.
Dimensões:
-
contribui . -
contribui . -
contribui . -
contribui .
Somando expoentes para cada dimensão e igualando a zero:
- Exponente de
: - Exponente de
: - Exponente de
: . Substituindo e :
Portanto
Breve interpretação:
combina as escalas de potência, geometria e vazão de forma adimensional.
Passo 6
Formação de
contendo
(novamente, passo a passo):
Proponho
Dimensões:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Igualando expoentes:
-
: -
: -
: . Substituindo e :
Logo
Interpretação física:
é parecido com um número de inverso de Reynolds (ou relacionado à viscosidade relativa à inércia associada à vazão), e está relacionado ao efeito da viscosidade comparado às forças de inércia na vazão.
Passo 7
Formação de
contendo
:
Proponho
Dimensões:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Igualando expoentes:
-
: -
: -
: . Substituindo e :
Portanto
Interpretação:
relaciona a rotação (escala temporal) com a vazão (escala volumétrica); frequentemente aparece em problemas rotativos como um parâmetro que liga velocidade de rotação e vazão caracterizada pela geometria.
Passo 8
Concluímos (aplicando o teorema de Buckingham): como existem três grupos adimensionais independentes, qualquer relação física entre as variáveis pode ser escrita como uma relação funcional entre esses três grupos. A forma mais prática é isolar
(o que corresponde à potência adimensional) como função dos outros dois:
ou seja,
onde
é uma função adimensional a ser obtida por experiência, simulação ou análise mais detalhada.
Observação final: as três quantidades requisitadas (
) aparecem cada uma em apenas um dos
s, como o enunciado requisitava.