Um fluido que possui uma massa específica de 0,8 g / cm^3 e viscosidade de 1,4 cp, está escoando sobre uma placa plana. A velocidade do fluido longe da placa, Vinfty, é de 3 cm / s. Calcular: as velocidades ux e uy no ponto (20 cm, 1 cm).

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um fluido que escoa sobre uma placa plana com velocidade livre longe da placa de Vinfty=3,cm/s. O enunciado dá massa específica rho=0,8,g/cm³ e viscosidade dinâmica mu=1,4,cp.
Conteúdo: camada‐limite laminar sobre placa plana e perfil de velocidade (teoria de Blasius).
O que vamos precisar:
  1. Converter unidades pra kinemática: nu=mu/rho.
  2. Estimar espessura da camada‐limite de.
  3. Definir coordenada adimensional eta=y/de.
  4. Usar um perfil polinomial (Pohlhausen) para achar ux e uy em função de eta.

Passo 2

Converter unidades e kinemática:
mu=1,4,cp. Como 1,cp =0,01,g/(cm·s), temos
mu=1,4times0,01=0,014 g/(cmcdot s)
rho=0,8 g/cm^3.
– Logo a viscosidade cinemática é
nu=murho=0,0140,8=0,0175 cm^2/s

Passo 3

Calcular espessura da camada‐limite laminar em x=20,cm. A fórmula aproximada é
de
Substituindo:
$$\delta(20)=5\sqrt{\frac{0{,}0175\cdot20}{3}}
=5\sqrt{\frac{0{,}35}{3}}
=5\sqrt{0{,}1167}
\approx5\times0{,}3417
\approx1{,}71\ \mathrm{cm}.$$

Passo 4

Definir coordenada adimensional eta:
eta=yde
No ponto y=1,cm e decm:
eta=11,71approx0,585

Passo 5

Usar o perfil de velocidade polinomial de Pohlhausen para camada‐limite laminar:
  1. Componente tangencial ux:
$$\frac{u_x}{V_\infty}
=2\eta-2\eta3+\eta4. uxVinfty =2eta-2eta^3+eta^4u_x=V_\infty\bigl(2\eta-2\eta3+\eta4\bigr)
=3\bigl(2\cdot0{,}585-2\cdot0{,}5853+0{,}5854\bigr).$$
  1. Componente normal ux=Vinftyl(2eta-2eta^3+eta^4r) =3l(2cdot0,585-2cdot0,585^3+0,585^4r):
    Para Pohlhausen,
uy
Assim
uy=Vinfty2l(eta^2-eta^4r)

Passo 6

Bora calcular os valores:
– Primeiro ux:
\newline 0,585^2=0,3426,0,585^3=0,2007,0,585^4=0,1170
\newline Então
ux=3l(2cdot0,585-2cdot0,2007+0,1170r) =3l(1,170-0,4014+0,1170r) =3times0,8856 approx2,66 cm/s
– Agora uy:
\newline eta^2-eta^4=0,3426-0,1170=0,2256
\newline
uy=32times0,2256 =1,5times0,2256 =0,3384 cm/s

Resposta

uₓ(20 cm, 1 cm) ≃ 2,66 cm/s
uᵧ(20 cm, 1 cm) ≃ 0,34 cm/s

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