Nos exercícios 17. a 22., encontre as funções f circ g e g circ f e seus domínios.
f(x)=|x-4| sin x, g(x)=xx+1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão está pedindo:
– Temos duas funções
f(x)=|x-4|,sin x e g(x)=xx+1
– Queremos achar as composições Dom(fcirc g)=,xmid xinDom(g);e;g(x)inDom(f) e e também os domínios dessas composições.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Definição de composição: .
  2. Regra de domínio de composição:
  1. Manipulação de valor absoluto e de frações.

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =f!l(tfracxx+1r) =l|tfracxx+1-4r|;sin!l(tfracxx+1r) .
Por definição:
xx+1-4 =x-4(x+1)x+1 =x-4x-4x+1 =-3x-4x+1
Agora simplificamos o valor absoluto:
(fcirc g)(x) =|3x+4||x+1|;sin!l(tfracxx+1r)
e .
Então

Passo 3

Domínio de Dom(fcirc g)=Dom(g)=Rsetminus-1 .
  1. (porque e aceitam todo real).
    Para compor, precisamos de e .
    Mas sempre dá um real, e .
    Logo

Passo 4

Calcular (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =f(x),f(x)+1, =|x-4|sin x,|x-4|sin x +1, .
Por definição:

Passo 5

Domínio de |x-4|sin x +1 neq 0 ;;Long<=ftrightarrow;; |x-4|sin x neq -1 .
  1. .
  2. Em Dom(gcirc f) =,xinRmid |x-4|sin x neq -1 , não podemos ter . Aqui .
    Então a condição é
Portanto

Resposta

(fcirc g)(x) =|3x+4||x+1|,sin!l(xx+1r), Dom(fcirc g)=Rsetminus-1 e seu domínio:
(gcirc f)(x) =|x-4|sin x,|x-4|sin x +1,, Dom(gcirc f)=,xinRmid |x-4|sin x neq -1 e seu domínio:

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