Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 50^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{W} /(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor: (c) casco e tubos, um passe no casco e 2 passes nos tubos. Compare os resultados de sua análise. Usando o I H T, seu trabalho pode ser reduzido (disponível no site da LTC Editora).

Passo 1

O enunciado (dados) e o que se pede:
  • Um fluido de processo (o “quente”) tem calor específico 3500\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}) e vazão mássica \dot m_h = 2\\ \mathrm{kg/s}. Ele entra a 80^\circ\mathrm{C} e sai a 50^\circ\mathrm{C}: T_{h,i}=80^\circ\mathrm{C}, T_{h,o}=50^\circ\mathrm{C}.
  • Água gelada (o “frio”) entra a 15^\circ\mathrm{C} com vazão mássica \dot m_c = 2{,}5\\ \mathrm{kg/s}. Temperatura de saída da água não dada (vai ser calculada por balanço de energia).
  • Coeficiente global de troca térmica U = 2000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Configuração pedida: casco e tubos, um passe no casco e 2 passes nos tubos (ou seja, trocador do tipo 1–2). Calcular a área de troca necessária.
  • Observação/pressuposto necessário (não fornecido no enunciado): vou assumir calor específico da água igual a c_{p,\mathrm{água}} = 4180\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})á (valor padrão) — isto é fundamental para obter a temperatura de saída da água.
  • Objetivo: calcular a área A necessária usando o método do Log Mean Temperature Difference (LMTD) com o fator de correção F adequado à configuração 1–2, e comparar com o caso ideal F=1 (fluxo contracorrente ideal).

Passo 2

Calcular a taxa de calor (potência térmica requerida) a partir do fluido quente usando balanço de energia:
  • Fórmula: Q = \dot m_h \, c_{p,h} \, (T_{h,i} - T_{h,o}),
onde \dot m_h é a vazão mássica do quente, c_{p,h} seu calor específico e T_{h,i},T_{h,o} temperaturas de entrada e saída do quente.
  • Substituindo: Q = 2\\ \mathrm{kg/s}\times 3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times (80-50)\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo: Q = 2 \times 3500 \times 30 = 210000\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência térmica trocada é \;Q=210000\\ \mathrm{W} (210 kW).

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água fria pelo balanço de energia (assumindo troca sem perdas externas):
  • Fórmula: Q = \dot m_c \, c_{p,c} \, (T_{c,o} - T_{c,i}),
onde \dot m_c e c_{p,c} são vazão e calor específico da água; T_{c,i}=15^\circ\mathrm{C} é a entrada e T_{c,o} é a saída desconhecida.
  • Isolando T_{c,o}: T_{c,o} = T_{c,i} + \frac{Q}{\dot m_c\, c_{p,c}}.
  • Substituindo valores (usando c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}): T_{c,o} = 15 + \frac{210000}{2{,}5 \times 4180}.
  • Cálculo numérico: 2{,}5\times4180 = 10450. Então \dfrac{210000}{10450}\approx 20{,}096.
  • Logo T_{c,o} \approx 15 + 20{,}096 = 35{,}096^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: \;T_{c,o}\approx 35{,}10^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Definir as diferenças de temperatura terminales usadas no LMTD:
  • Para calcular LMTD “base” (contracorrente hipotético) usamos as duas diferenças:
\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i}.
  • Substituindo os números que já temos:
\Delta T_1 = 80 - 35{,}0957 \approx 44{,}904^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 50 - 15 = 35{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o LMTD para o caso contracorrente ideal (isto é a base antes da correção F):
  • Fórmula do LMTD (log mean temperature difference): \mathrm{LMTD}_0 = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\big(\Delta T_1/\Delta T_2\big)}.
  • Substituindo \Delta T_1 e \Delta T_2:
\mathrm{LMTD}_0 = \frac{44{,}904 - 35{,}000}{\ln\!\big(44{,}904/35{,}000\big)}.
  • Cálculo numérico: numerador \approx 9{,}904. Razão \approx 1{,}283 e \ln(1{,}283)\approx 0{,}2489. Assim \mathrm{LMTD}_0 \approx \frac{9{,}904}{0{,}2489} \approx 39{,}78\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: se o trocador fosse contracorrente perfeito, a diferença logarítmica efetiva de temperatura seria \approx 39{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Explicar e calcular o fator de correção F para trocador do tipo 1–2 (um passe no casco e dois passes nos tubos):
  • Por que precisa de F?: configuração 1–2 não é fluxo puramente contracorrente nem cocorrente uniforme; a LMTD obtida diretamente acima deve ser multiplicada por um fator F (menor que 1) que corrige o efeito geométrico de múltiplos passes.
  • Definições auxiliares (padrão para correção de LMTD):
R = \frac{T_{h,i}-T_{h,o}}{T_{c,o}-T_{c,i}},\qquad P = \frac{T_{c,o}-T_{c,i}}{T_{h,i}-T_{c,i}}.
Esses dois adimensionais descrevem as razões das diferenças de temperatura finais.
  • Calcular R e P com os valores obtidos:
R = \frac{80-50}{35{,}0957-15} = \frac{30}{20{,}0957}\approx 1{,}4925,
P = \frac{35{,}0957-15}{80-15}=\frac{20{,}0957}{65}\approx 0{,}3092.
  • Fórmula prática (usada em bibliografias e manuais) para o fator F no caso 1–2 é:
F = \frac{S\\ \ln\!\big(\dfrac{1-P}{\,1-P\,R\,}\big)} {(R-1)\\ \ln\!\Big(\dfrac{2 - P\,(R+1 - S)}{\,2 - P\,(R+1 + S)\,}\Big)},
onde S=\sqrt{R^2+1}.
(Atenção: essa expressão é a forma usada nos manuais; a ordem dentro dos logaritmos é importante para obter F>0.)
  • Calcular passo a passo:
S=\sqrt{1{,}4925^2+1}\approx 1{,}7960.
Calcular termo do numerador:
\frac{1-P}{1-PR}=\frac{1-0{,}3092}{1-0{,}3092\times 1{,}4925}\approx\frac{0{,}6908}{0{,}5384}\approx 1{,}2829,
\ln\!\big(\tfrac{1-P}{1-PR}\big)\approx 0{,}2488,
numerador \approx 1{,}7960\times 0{,}2488 \approx 0{,}4467.
Calcular termo do denominador:
R+1-S \approx 1{,}4925+1-1{,}7960 \approx 0{,}6965,
R+1+S \approx 4{,}2885,
2 - P(R+1-S)\approx 2 - 0{,}3092\times 0{,}6965 \approx 1{,}7846,
2 - P(R+1+S)\approx 2 - 0{,}3092\times 4{,}2885 \approx 0{,}6737,
\frac{2 - P(R+1-S)}{2 - P(R+1+S)}\approx \frac{1{,}7846}{0{,}6737}\approx 2{,}6484,
\ln\!\Big(\frac{2 - P(R+1-S)}{2 - P(R+1+S)}\Big)\approx 0{,}9734.
Denominador completo \approx (R-1)\times 0{,}9734 \approx 0{,}4925\times 0{,}9734 \approx 0{,}4792.
Finalmente,
F \approx \frac{0{,}4467}{0{,}4792} \approx 0{,}9325.
Interpretação: o fator de correção é \;F\approx 0{,}933 (ou seja, a LMTD efetiva será cerca de 93{,}3\% do LMTD do caso contracorrente ideal).

Passo 7

Calcular a LMTD efetiva corrigida e a área necessária A:
  • LMTD corrigida: \mathrm{LMTD} = F \times \mathrm{LMTD}_0 \approx 0{,}9325 \times 39{,}78 \approx 37{,}11^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmula da área usando LMTD: A = \frac{Q}{U\,\mathrm{LMTD}}.
  • Substituindo Q=210000\\ \mathrm{W}, U=2000\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) e \mathrm{LMTD}\approx 37{,}11\\ {\mathrm{K}}:
A \approx \frac{210000}{2000\times 37{,}11} = \frac{210000}{74220} \approx 2{,}829\\ \mathrm{m}^2.
Arredondando razoavelmente para projeto: A \approx 2{,}83\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Comparação com o caso ideal contracorrente ( F=1):
  • Se F=1, \mathrm{LMTD}=\mathrm{LMTD}_0\approx 39{,}78^\circ\mathrm{C} e
A_{F=1} = \frac{210000}{2000\times 39{,}78} \approx \frac{210000}{79560}\approx 2{,}64\\ \mathrm{m}^2.
  • Portanto a área para o trocador 1–2 ( \approx 2{,}83\\ \mathrm{m}^2) é maior que a do contracorrente ideal ( \approx 2{,}64\\ \mathrm{m}^2). A diferença percentual é aproximadamente
\frac{2{,}829-2{,}64}{2{,}64}\approx 0{,}0716 \approx 7{,}2\%.
Comentário prático: o efeito de múltiplos passes (geometria 1–2) reduz ligeiramente a eficiência térmica (LMTD efetiva menor), exigindo cerca de 7\% mais área que um contracorrente ideal.

Passo 9

Resumo final e observações de uso em prova:
  • Procedimento usado (resumido para aplicar rápido na prova):
    1. Calcule Q a partir do lado com dados completos ( Q=\dot m c_p\Delta T).
    2. Use balanço para obter temperatura de saída do outro fluido.
    3. Calcule \Delta T_1 e \Delta T_2, então \mathrm{LMTD}_0.
    4. Para trocador do tipo 1–2, calcule R e P e a partir da fórmula (ou gráfico manual) obtenha F.
    5. Obtenha \mathrm{LMTD}=F\mathrm{LMTD}_0 e então A=Q/(U\mathrm{LMTD}).
  • Dica prática: em prova, se tiver a chart do fator F use-a; se não, memorize/tenha a fórmula que usamos acima ou explique que usaria o gráfico. Sempre declare c_p assumido para a água se não fornecido.

Resposta

Área necessária (casco e tubos, 1 passe no casco e 2 passes nos tubos): \;2{,}83\\ \mathrm{m}^2.\nÁrea para contracorrente ideal (para comparação, F=1): \;2{,}64\\ \mathrm{m}^2.

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