Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 50^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{W} /(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor: (d) escoamento cruzado, único passe, dois fluidos não misturados. Compare os resultados de sua análise. Usando o I H T, seu trabalho pode ser reduzido (disponível no site da LTC Editora).

Passo 1

O enunciado pede a área de transferência de calor necessária para um trocador em configuração: escoamento cruzado, único passe, com dois fluidos não misturados (ou seja, ambos os fluidos fluem em cruzamento e não se misturam entre si). Dados fornecidos no enunciado que vamos usar (listei todos explicitamente):
\text{Fluido de processo (quente): } c_{p,h}=3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad \dot m_h=2{,}0\\ \mathrm{kg/s},
T_{h,in}=80^\circ\mathrm{C},\quad T_{h,out}=50^\circ\mathrm{C}.
\text{Água (fria): } \dot m_c=2{,}5\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{c,in}=15^\circ\mathrm{C}.Á
\text{Coeficiente global: } U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Observações importantes que vou assumir (padrões usuais em provas, como não foi dado): vou assumir o calor específico da água igual a
c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que precisamos encontrar: a área A do trocador para a configuração pedida. Também o enunciado pede comparar os resultados — então depois de achar A para o caso pedido eu vou comparar com os resultados típicos para contracorrente e escoamento paralelo (para ver a posição relativa).

Passo 2

Entender o balanço de energia e a eficiência térmica do trocador (definir o que é Q, C, C_{\min}, C_{\max}, C_r, e eficiência \varepsilon).
  • O fluxo de calor trocado é dado por energia perdida pelo fluido quente:
Q=\dot m_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Aqui \dot m_h é vazão mássica do fluido quente (kg/s), c_{p,h} seu calor específico (J/kgK), e as temperaturas em °C (diferença de temperatura em °C = K).
  • As taxas de capacidade térmica são:
C_h=\dot m_h\,c_{p,h},\qquad C_c=\dot m_c\,c_{p,c}.
Definimos
C_{\min}=\min(C_h,C_c),\qquad C_{\max}=\max(C_h,C_c), \qquad C_r=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}}.
  • A eficácia (efetividade) do trocador é a razão entre o calor efetivamente trocado e o calor máximo teoricamente possível:
\varepsilon=\dfrac{Q}{Q_{\max}},\quad\text{onde}\quad Q_{\max}=C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in}).
A ideia da metodologia \varepsilon-NTU: para muitas configurações (incluindo o nosso caso: escoamento cruzado, ambos não misturados) existe uma relação empírica entre \varepsilon, C_r e o número de unidades de troca
\mathrm{NTU}=\dfrac{U\,A}{C_{\min}}.
Logo, depois de obter \varepsilon pela energia, podemos usar a relação \varepsilon(NTU,C_r) apropriada para encontrar NTU, daí obter A via A=NTU\cdot C_{\min}/U.

Passo 3

Calcular Q (calor trocado) e as capacidades térmicas numéricas.
Calcule Q:
Q=\dot m_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}) =2{,}0\cdot 3500\cdot(80-50)\\ \mathrm{W}.
Fazendo a conta passo a passo:
2{,}0\cdot 3500=7000\\ \mathrm{W/K},
(80-50)=30\\ \mathrm{K},
Q=7000\cdot 30=210000\\ \mathrm{W}=210\\ \mathrm{kW}.
Calcule as capacidades térmicas:
C_h=\dot m_h c_{p,h}=2{,}0\cdot 3500=7000\\ \mathrm{W/K},
C_c=\dot m_c c_{p,c}=2{,}5\cdot 4180=10450\\ \mathrm{W/K}.
Logo
C_{\min}=7000\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=10450\\ \mathrm{W/K},
C_r=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}}=\dfrac{7000}{10450}\approx 0{,}6694.

Passo 4

Calcular a eficácia requerida \varepsilon. Primeiro o calor máximo possível:
Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,in}-T_{c,in})=7000\cdot(80-15)=7000\cdot 65=455000\\ \mathrm{W}.
Então
\varepsilon=\dfrac{Q}{Q_{\max}}=\dfrac{210000}{455000}\approx 0{,}461538.
Interpretação: o trocador precisa realizar cerca de 46{,}15\% do calor máximo possível entre os dois fluxos.

Passo 5

Explicar a correlação a ser usada para o caso “escoamento cruzado, ambos os fluidos não misturados” e apresentar a fórmula que vamos resolver numericamente.
Para escoamento cruzado, único passe, com ambos os fluidos não misturados, uma correlação empírica (Kays & London; usada em provas e livros) relaciona \varepsilon, NTU e C_r da seguinte forma:
\varepsilon = 1 - \exp\!\left[ -\, NTU^{\,0{,}78}\, \dfrac{1 - \exp\!\big(-C_r\,NTU^{\,0{,}22}\big)}{C_r} \right].
Explicando a fórmula em linguagem simples: ela é uma aproximação empírica que se reduz a fórmulas exatas para casos-limite (por exemplo, quando C_r\to 0 \varepsilon=1-\exp(-NTU)), e é amplamente aceita para trocadores do tipo crossflow com ambos os fluidos não misturados. Nessa expressão:
  • \varepsilon é a eficácia calculada no passo anterior;
  • NTU é a incógnita que determina a área via NTU=UA/C_{\min};
  • C_r já temos.
Nossa tarefa agora: dado \varepsilon e C_r, resolver para NTU essa equação (resolução numérica).

Passo 6

Resolver numericamente a equação para NTU (método de iteração simples): vou testar alguns valores de NTU e ajustar até que a expressão dê \varepsilon\approx 0{,}461538. Mostrarei os cálculos em cada tentativa para você poder reproduzir na prova com uma calculadora.
Definimos a função
g(NTU)=1 - \exp\!\left[ -\, NTU^{0{,}78}\, \dfrac{1 - \exp\!\big(-C_r\,NTU^{0{,}22}\big)}{C_r} \right].
Tentativa 1: NTU=1{,}00.
NTU^{0{,}78}=1{,}00,\quad NTU^{0{,}22}=1{,}00.
\exp(-C_r\cdot 1{,}00)=\exp(-0{,}6694)\approx 0{,}5122.
\dfrac{1-0{,}5122}{0{,}6694}=0{,}4878/0{,}6694\approx 0{,}7287.
\text{Expoente interno}=NTU^{0{,}78}\cdot( \dots )=1{,}00\cdot 0{,}7287=0{,}7287.
g(1{,}00)=1-\exp(-0{,}7287)\approx 1-0{,}4825=0{,}5175.
Resultado: g(1{,}00)=0{,}5175 (maior que \varepsilon=0{,}4615) → precisamos de NTU menor.
Tentativa 2: NTU=0{,}80.
Calcule:
NTU^{0{,}78}=0{,}8^{0{,}78}\approx 0{,}84,\quad NTU^{0{,}22}=0{,}8^{0{,}22}\approx 0{,}9521.
\exp(-C_r\cdot 0{,}9521)=\exp(-0{,}6694\cdot 0{,}9521)=\exp(-0{,}637)\approx 0{,}529.
\dfrac{1-0{,}529}{0{,}6694}=0{,}471/0{,}6694\approx 0{,}704.
\text{Expoente interno}=0{,}84\cdot 0{,}704\approx 0{,}592.
g(0{,}80)=1-\exp(-0{,}592)\approx 1-0{,}553=0{,}447.
Resultado: g(0{,}80)=0{,}447 (agora menor que \varepsilon). Então NTU está entre 0{,}80 e 1{,}00.
Tentativa 3: NTU=0{,}84 (interpolação razoável entre 0,8 e 1).
Calcule:
NTU^{0{,}78}=0{,}84^{0{,}78}\approx 0{,}873,
NTU^{0{,}22}=0{,}84^{0{,}22}\approx 0{,}9624.
\exp(-C_r\cdot 0{,}9624)=\exp(-0{,}6694\cdot 0{,}9624)=\exp(-0{,}6439)\approx 0{,}5256.
\dfrac{1-0{,}5256}{0{,}6694}=0{,}4744/0{,}6694\approx 0{,}7086.
\text{Expoente interno}=0{,}873\cdot 0{,}7086\approx 0{,}6194.
g(0{,}84)=1-\exp(-0{,}6194)\approx 1-0{,}5386=0{,}4614.
Este resultado está praticamente igual ao \varepsilon requerido ( 0{,}461538). Portanto adotamos
NTU\approx 0{,}84.
(Se quiser maior precisão, poderia fazer nova iteração; a diferença é insignificante para nosso propósito de achar A.)

Passo 7

Calcular UA e a área A.
Sabemos
NTU=\dfrac{U A}{C_{\min}}\quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{NTU\cdot C_{\min}}{U}.
Substituindo valores:
UA = NTU\cdot C_{\min}=0{,}84\cdot 7000=5880\\ \mathrm{W/K}.
A=\dfrac{5880}{2000}=2{,}94\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Verificação rápida e comparação com outras configurações (para entender o significado do resultado).
É interessante comparar com os resultados que se obteriam em contracorrente e em fluxo paralelo (essas fórmulas são padrão e rápidas de aplicar; eu faço as contas para você ver a ordem de grandeza e porque o caso crossflow não misturado fica entre os dois extremos).
  • Contracorrente: relação \varepsilon-NTU para contracorrente (quando C_r\neq 1) é
\varepsilon=\dfrac{1-\exp[-NTU(1-C_r)]}{1-C_r\exp[-NTU(1-C_r)]}.
Dado \varepsilon=0{,}461538 e C_r=0{,}6694, podemos resolver explicitamente para e^{-x} com x=NTU(1-C_r) e obter NTU\approx 0{,}758. Assim
UA=0{,}758\cdot 7000\approx 5303\\ \mathrm{W/K},\quad A\approx \dfrac{5303}{2000}=2{,}65\\ \mathrm{m^2}.
  • Paralelo: relação é
\varepsilon=\dfrac{1-\exp[-NTU(1+C_r)]}{1+C_r}.
Resolvendo para NTU com nossos dados obtém-se NTU\approx 0{,}8813 e então
UA\approx 0{,}8813\cdot 7000\approx 6169\\ \mathrm{W/K},\quad A\approx \dfrac{6169}{2000}=3{,}08\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação da comparação (sem enrolar): contracorrente exige a menor área (melhor troca térmica), fluxo paralelo a maior área (pior), e o nosso caso crossflow (ambos não misturados) fica entre eles:
A_{\text{contracorrente}}\approx 2{,}65\\ \mathrm{m^2} < A_{\text{crossflow, unmixed}}\approx 2{,}94\\ \mathrm{m^2} < A_{\text{paralelo}}\approx 3{,}08\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

(d) A \approx 2{,}94\\ \mathrm{m^2}.
Comparação: A_{\text{contracorrente}}\approx 2{,}65\\ \mathrm{m^2},\quad A_{\text{crossflow (ambos não misturados)}}\approx 2{,}94\\ \mathrm{m^2},\quad A_{\text{paralelo}}\approx 3{,}08\\ \mathrm{m^2}.ã

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