Um resfriador de óleo de um grande motor a diesel deve resfriar óleo de 60^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C}, empregando água do mar a temperatura de entrada 20^{\circ} \mathrm{C}, com uma elevação da temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. A carga térmica do projeto é \mathrm{Q}=140 \mathrm{~kW} e o coeficiente global de transferência de calor médio, baseado na superfície externa dos tubos é 70 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a área da superfície de transferência de calor num escoamento de passe único em: (a) contracorrente; (b) correntes paralelas.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a área da superfície de troca térmica A para um resfriador de óleo em escoamento de passe único, nas duas configurações: (a) contracorrente e (b) correntes paralelas. Dados fornecidos importantes (vou listar tudo explicitamente):
Q = 140\\ \mathrm{kW},
T_{h,\mathrm{in}} = 60^\circ\mathrm{C},\qquad T_{h,\mathrm{out}} = 45^\circ\mathrm{C},
a água do mar entra a
T_{c,\mathrm{in}} = 20^\circ\mathrm{C},
e tem uma elevação de temperatura (aquecimento) de 15^\circ\mathrm{C} — portanto a temperatura de saída da água é conhecida a partir disso (vou calcular no próximo passo). O coeficiente global médio é
U = 70\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^\circ\mathrm{C}.
Meta: calcular A para contracorrente e para correntes paralelas.

Passo 2

Calcular a temperatura de saída da água a partir da elevação dada. A elevação da temperatura da água é 15^\circ\mathrm{C}, então
T_{c,\mathrm{out}} = T_{c,\mathrm{in}} + 15^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C} + 15^\circ\mathrm{C} = 35^\circ\mathrm{C}.
Resumo de temperaturas que usaremos:
T_{h,\mathrm{in}} = 60^\circ\mathrm{C},\quad T_{h,\mathrm{out}} = 45^\circ\mathrm{C},
T_{c,\mathrm{in}} = 20^\circ\mathrm{C},\quad T_{c,\mathrm{out}} = 35^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Explicar a fórmula que usamos para dimensionar a área: no método LMTD (log mean temperature difference) para trocadores de calor de superfície fixa, a potência térmica é dada por
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde:
  • Q é a carga térmica (potência a ser transferida), em watts;
  • U é o coeficiente global médio de transferência de calor, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^\circ\mathrm{C};
  • A é a área de troca térmica que queremos calcular, em \mathrm{m}^2;
  • \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura média logarítmica entre os escoamentos, em ^\circ\mathrm{C}.
A fórmula para \Delta T_{lm} é
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura nos dois extremos do trocador (essas diferenças dependem se o escoamento é paralelo ou contracorrente). Vou explicar e calcular \Delta T_1 e \Delta T_2 para cada caso.

Passo 4

Caso (a) — contracorrente. Em contracorrente cada fluido entra em extremidades opostas, portanto as diferenças de temperatura nos dois extremos são:
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{out}} = 60^\circ\mathrm{C} - 35^\circ\mathrm{C} = 25^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}} = 45^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 25^\circ\mathrm{C}.
Aqui percebemos algo prático: \Delta T_1 = \Delta T_2 = 25^\circ\mathrm{C}. Quando as duas diferenças são iguais, a expressão da média logarítmica tende para esse valor comum, isto é
\Delta T_{lm} = 25^\circ\mathrm{C}.
(Observação didática: a fórmula do LMTD é uma média logarítmica que faz sentido quando as diferenças não são iguais; se as diferenças são idênticas, a média logarítmica reduz simplesmente ao valor comum, evitando divisão por zero na razão.)

Passo 5

Continuando o caso (a) — calcular a área. Primeiro converter Q para watts:
Q = 140\\ \mathrm{kW} = 140000\\ \mathrm{W}.
Agora aplicar Q = U A \Delta T_{lm} isolando A:
A = \frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}} = \frac{140000\\ \mathrm{W}}{70\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^\circ\mathrm{C}\times 25^\circ\mathrm{C}}.
Calculemos passo a passo o denominador:
U\,\Delta T_{lm} = 70\times 25 = 1750\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Portanto
A = \frac{140000}{1750} = 80\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Caso (b) — correntes paralelas. Em escoamento paralelo os dois fluidos entram no mesmo lado e saem no outro; as diferenças de temperatura nos extremos são:
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{in}} = 60^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 40^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{out}} = 45^\circ\mathrm{C} - 35^\circ\mathrm{C} = 10^\circ\mathrm{C}.
Agora usamos a fórmula da média logarítmica:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}=\frac{40-10}{\ln\!\left(\dfrac{40}{10}\right)}.
Calculemos numericamente: \ln(40/10)=\ln(4)\approx 1,386294. Então
\Delta T_{lm} \approx \frac{30}{1,386294}\approx 21,62^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Continuando o caso (b) — calcular a área para paralelo. Usamos novamente
A = \frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}} = \frac{140000}{70\times 21,62}.
Calcule o denominador aproximado:
70\times 21,62 \approx 1513,4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Logo
A \approx \frac{140000}{1513,4}\approx 92,6\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento: contra-corrente precisa de menos área porque oferece uma diferença média de temperatura maior ( 25^\circ\mathrm{C} contra \approx 21,62^\circ\mathrm{C}), o que é sempre desejável em projetos — rende mais troca térmica para a mesma área ou permite reduzir área para a mesma carga. Tá indo bem — respira, a conta é só aplicar a fórmula com cuidado.

Resposta

(a) 80\\ \mathrm{m}^2
(b) 92,6\\ \mathrm{m}^2

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