1- Um trocador de calor bitubular com comprimento \mathrm{L}=4 \mathrm{~m} é usado para processar termicamente um produto farmacêutico escoando com uma velocidade média de u_{m, f}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com uma temperatura de entrada de T_{f, e n t}=25^{\circ} \mathrm{C}. O tubo interno, com diâmetro Di =10 \mathrm{~mm}, tem parede delgada e a parte externa do tubo externo ( \mathrm{De}=20 \mathrm{~mm} ) encontra-se termicamente isolada. Água escoa na região anular entre os tubos com uma velocidade média de u_{m, q}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e com uma temperatura de entrada de T_{q, e n t}=80^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades do produto farmacêutico são \mu=0,011 P a . s, \mathrm{k}=0,25 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), \rho=1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 \mathrm{e} \mathrm{cp}=2460 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}). Para a água temos: \mu=557 x 10^{-6} P a . s, k= 640 x 10^{-3} \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), \rho=990 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e cp =4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
(a) Determine o valor do coeficiente global de transferência de calor U.
(b) Determine a temperatura média na saída do produto farmacêutico com o trocador operando em contracorrente.
(c) Determine a temperatura média na saída do produto farmacêutico com o trocador operando em paralelo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do trocador e escoamentos:
  • comprimento: L=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • tubo interno (produto farmacêutico): diâmetro interno \mathrm{D_i}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}; velocidade média \,u_{m,f}=8{,}0\\ \mathrm{m/s}; temperatura de entrada T_{f,ent}=25{,}^\circ\mathrm{C}.
  • tubo externo (diâmetro interno do tubo externo que forma o anel): \mathrm{D_e}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}. A superfície externa do tubo externo está isolada (logo desprezamos perdas para o ambiente).
  • água no anel (região entre tubos): velocidade média \,u_{m,q}=8{,}0\\ \mathrm{m/s}; temperatura de entrada T_{q,ent}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
Propriedades do produto (fluido no tubo interno):
  • \mu_f=0{,}011\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • k_f=0{,}25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
  • \rho_f=1200\\ \mathrm{kg/m^3},
  • c_{p,f}=2460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Propriedades da água (fluido no anel):
  • \mu_q=557\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • k_q=640\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}=0{,}64\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
  • \rho_q=990\\ \mathrm{kg/m^3},
  • c_{p,q}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que o problema pede:
(a) determinar o coeficiente global de transferência de calor U (usar área de referência; adotarei a área interna do tubo como referência);
(b) temperatura média de saída do produto para escoamento em contracorrente;
(c) temperatura média de saída do produto para escoamento em paralelo.
Observação de modelagem (escolhas e hipóteses que vou usar sem pedir nada a você):
  • parede do tubo é delgada → desprezo resistência térmica de condução na parede.
  • não há perda de calor para o ambiente (tubo externo isolado).
  • usarei correlações convectivas clássicas (Dittus–Boelter) para estimar os coeficientes convectivos internos e no anel; justificarei isso no passo da correlação.
  • área de troca adotada para U será a área externa do tubo interno (área molhada do lado do produto): A = \pi D_i L.

Passo 2

Cálculo das áreas geométricas e vazões mássicas (passo necessário para balanço energético).
Área de escoamento no tubo interno (seção circular):
A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}=\frac{\pi (0{,}01)^2}{4}=7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Área da seção anular (entre D_i e D_e):
A_{an}=\frac{\pi(D_e^2-D_i^2)}{4}=\frac{\pi(0{,}02^2-0{,}01^2)}{4}=2{,}35619\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Vazões volumétricas (usando as velocidades médias fornecidas):
\dot V_f = u_{m,f}\,A_i = 8{,}0\cdot 7{,}85398\times10^{-5}=6{,}28319\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s},
\dot V_q = u_{m,q}\,A_{an} = 8{,}0\cdot 2{,}35619\times10^{-4}=1{,}88495\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazões mássicas:
\dot m_f=\rho_f\dot V_f = 1200\cdot 6{,}28319\times10^{-4}=0{,}753982\\ \mathrm{kg/s},
\dot m_q=\rho_q\dot V_q = 990\cdot 1{,}88495\times10^{-3}=1{,}86611\\ \mathrm{kg/s}.
Capacidade térmica de cada corrente ( C=\dot m c_p):
C_f=\dot m_f c_{p,f}=0{,}753982\cdot2460=1854{,}79\\ \mathrm{W/K},
C_q=\dot m_q c_{p,q}=1{,}86611\cdot4180=7800{,}87\\ \mathrm{W/K}.
Identifico C_{\min}=C_f e C_{\max}=C_q. A razão de capacidades:
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{1854{,}79}{7800{,}87}=0{,}2378.
Área de troca (área de referência, superfície do tubo interno):
A=\pi D_i L=\pi\cdot0{,}01\cdot4=0{,}1256637\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Como obter os coeficientes convectivos internos e externos ( h_i e h_o). Conceitos essenciais e escolha da correlação.
Conceitos rápidos:
  • Número de Reynolds: indica se o escoamento é laminar ou turbulento. Fórmula: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho u_m D_h}{\mu}, onde D_h é o diâmetro hidráulico do canal (para tubo D_h=D; para anel D_h=D_e-D_i).
  • Número de Prandtl: \displaystyle \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}. Relação entre viscosidade, capacidade térmica e condutividade.
  • Número de Nusselt: \mathrm{Nu}= \dfrac{h D_h}{k}. Correlaciona convecção com propriedades fluidas; dá h quando a correlação fornece \mathrm{Nu}.
  • Correlação escolhida: Dittus–Boelter \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\mathrm{Pr}^{\,n},com n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido (temperatura do fluido aumentando) e n=0{,}3 se está sendo resfriado. A correlação é simples e amplamente usada para escoamento turbulento em tubos; aqui as Re obtidas são maiores que 3000 (regime não-laminar), então é aceitável usá-la como estimativa.
Cálculo para o produto (lado interno):
  • diâmetro hidráulico D_{h,f}=D_i=0{,}01\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Re}_f=\frac{\rho_f u_{m,f} D_{h,f}}{\mu_f}=\frac{1200\cdot8{,}0\cdot0{,}01}{0{,}011}=8727{,}27.
\mathrm{Pr}_f=\frac{c_{p,f}\mu_f}{k_f}=\frac{2460\cdot0{,}011}{0{,}25}=108{,}24.
O produto está sendo aquecido (entra a 25{,}^\circ\mathrm{C} e sai mais quente), então use n=0{,}4. Aplicando Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}_f=0{,}023\;\mathrm{Re}_f^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}_f^{0{,}4}\approx0{,}023\cdot8727{,}27^{0{,}8}\cdot108{,}24^{0{,}4}\approx213{,}0.
Logo o coeficiente convectivo interno é
h_i=\frac{\mathrm{Nu}_f\,k_f}{D_i}=\frac{213{,}0\cdot0{,}25}{0{,}01}=5325\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo da água no anel.
Diâmetro hidráulico do anel:
D_{h,q}=D_e-D_i=0{,}02-0{,}01=0{,}01\\ \mathrm{m}.
Números adimensionais para a água:
\mathrm{Re}_q=\frac{\rho_q u_{m,q}D_{h,q}}{\mu_q}=\frac{990\cdot8{,}0\cdot0{,}01}{557\times10^{-6}}\approx142{,}184.
\mathrm{Pr}_q=\frac{c_{p,q}\mu_q}{k_q}=\frac{4180\cdot557\times10^{-6}}{0{,}64}\approx3{,}636.
A água está sendo resfriada (entra a 80{,}^\circ\mathrm{C} e sai mais fria), então em Dittus–Boelter uso n=0{,}3:
\mathrm{Nu}_q=0{,}023\;\mathrm{Re}_q^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}_q^{0{,}3}\approx0{,}023\cdot142{,}184^{0{,}8}\cdot3{,}636^{0{,}3}\approx449{,}7.
Coeficiente convectivo externo (água no anel):
h_o=\frac{\mathrm{Nu}_q\,k_q}{D_{h,q}}=\frac{449{,}7\cdot0{,}64}{0{,}01}\approx28779\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário didático curto: h_o resultou muito maior que h_i. Isso significa que a resistência convectiva ao lado da água é pequena em comparação com a do lado do produto — provavelmente porque a água tem Re muito maior e condutividade maior. Em trocadores assim, a resistência do produto tende a limitar a transferência.

Passo 5

Cálculo do coeficiente global de troca U (baseado na área do tubo interno) com parede delgada.
Formulação (quando as áreas interna e externa são diferentes e a resistência de parede é desprezível):
\frac{1}{U_i}=\frac{1}{h_i}+\frac{D_i}{D_e}\cdot\frac{1}{h_o},
onde U_i é o coeficiente global referido à área interna A_i=\pi D_i L. Aqui usei a relação A_i/A_o = D_i/D_e para transformar a resistência do lado externo para a referência interna.
Substituindo valores:
\frac{1}{U_i}=\frac{1}{5325}+\frac{0{,}01}{0{,}02}\cdot\frac{1}{28779} =1{,}878\times10^{-4}+0{,}5\cdot3{,}474\times10^{-5}=2{,}0527\times10^{-4}.
Portanto
U_i=\frac{1}{2{,}0527\times10^{-4}}=4869{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando de forma conveniente, apresentarei U com três algarismos significativos abaixo na resposta final.

Passo 6

Preparação para os balanços energéticos: método escolhido para obter as temperaturas de saída.
Explicação didática dos métodos possíveis:
  • Poderíamos usar balanço elemento a elemento (método diferencial) ou o método compacto de número de unidades de transferência \mathrm{NTU} e efetividade (óptimo quando conhecemos vazões, U e área).
  • Vou usar o método NTU–efetividade porque é direto: calcula a efetividade \varepsilon do trocador a partir de \mathrm{NTU}=\dfrac{UA}{C_{\min}} e da razão de capacidades C_r=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}}. A partir de \varepsilon obtém-se o calor trocado Q=\varepsilon\,C_{\min}(T_{hot,in}-T_{cold,in}) e daí as temperaturas de saída.
Cálculos:
UA = U_i A = 4869{,}7\cdot0{,}1256637 = 612{,}06\\ \mathrm{W/K},
\mathrm{NTU}=\frac{UA}{C_{\min}}=\frac{612{,}06}{1854{,}79}=0{,}3300.

Passo 7

Contracorrente: cálculo da efetividade e das temperaturas de saída.
Fórmula da efetividade para fluxo contracorrente (fluídos simples, sem fase de mudança):
\varepsilon_{\text{cc}}=\frac{1-\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}.
Substituindo:
\mathrm{NTU}(1-C_r)=0{,}3300(1-0{,}2378)=0{,}3300\cdot0{,}7622=0{,}2515,
\exp\big(-0{,}2515\big)=0{,}7777,
\varepsilon_{\text{cc}}=\frac{1-0{,}7777}{1-0{,}2378\cdot0{,}7777}=\frac{0{,}2223}{0{,}8151}=0{,}2727.
Calor trocado:
Q=\varepsilon_{\text{cc}}\,C_{\min}\,(T_{q,ent}-T_{f,ent}) =0{,}2727\cdot1854{,}79\cdot(80-25).
Q\approx0{,}2727\cdot1854{,}79\cdot55=27830\\ \mathrm{W}.
Temperatura de saída do produto (lado frio):
T_{f,out}^{\text{cc}}=T_{f,ent}+\frac{Q}{C_f}=25{,}0+\frac{27830}{1854{,}79}=25{,}0+15{,}01=40{,}01\\ ^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de saída da água (conferência):
T_{q,out}^{\text{cc}}=T_{q,ent}-\frac{Q}{C_q}=80{,}0-\frac{27830}{7800{,}87}=80{,}0-3{,}566=76{,}43\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Paralelo (cocorrente): cálculo da efetividade e da temperatura de saída do produto.
Fórmula da efetividade para fluxo paralelo:
\varepsilon_{\text{par}}=\frac{1-\exp\big(-\mathrm{NTU}(1+C_r)\big)}{1+C_r}.
Substituindo:
\mathrm{NTU}(1+C_r)=0{,}3300(1+0{,}2378)=0{,}3300\cdot1{,}2378=0{,}4083,
\exp\big(-0{,}4083\big)=0{,}6646,
\varepsilon_{\text{par}}=\frac{1-0{,}6646}{1+0{,}2378}=\frac{0{,}3354}{1{,}2378}=0{,}2709.
Calor trocado:
Q_{\text{par}}=\varepsilon_{\text{par}}\,C_{\min}\,(T_{q,ent}-T_{f,ent}) =0{,}2709\cdot1854{,}79\cdot55\approx27635\\ \mathrm{W}.
Temperatura de saída do produto:
T_{f,out}^{\text{par}}=25{,}0+\frac{27635}{1854{,}79}=25{,}0+14{,}91=39{,}91\\ ^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: NTU pequeno ( \approx0{,}33) indica que a eficiência térmica do trocador é limitada (área e/ou U não muito altos frente à capacidade térmica do produto). Por isso as temperaturas de saída para contracorrente e paralelo ficam muito parecidas (a vantagem do contracorrente se destaca mais quando NTU é maior).

Resposta

U=4{,}87\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
T_{f,out}^{\text{contracorrente}}=40{,}01\\ ^\circ\mathrm{C}
T_{f,out}^{\text{paralelo}}=39{,}91\\ ^\circ\mathrm{C}

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