Um fluido de processo, com calor específico de 3500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e escoando a 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, deve ser resfriado de 80^{\circ} \mathrm{C} a 40^{\circ} \mathrm{C} com água gelada, que é fornecida a uma temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C} e a uma vazão de 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando um coeficiente global de transferência de calor igual a 2000 \mathrm{W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}), calcule as áreas de transferência de calor necessárias para as seguintes configurações de trocadores de calor:
(d) escoamento cruzado, único passe, dois fluidos não misturados. Compare os resultados de sua análise.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Fluido de processo (quente):
    • calor específico c_{p,h}=3500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • vazão mássica \dot m_h=4\\ \mathrm{kg/s},
    • entrada em T_{h,in}=80^\circ\mathrm{C},
    • saída desejada em T_{h,out}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Água gelada (fria):
    • vazão mássica \dot m_c=5\\ \mathrm{kg/s},
    • entrada em T_{c,in}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor U=2000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Configuração a analisar: escoamento cruzado, único passe, dois fluidos não misturados (isto é, ambos os fluidos não se misturam e a geometria é de crossflow de um passe).
Observações / suposições necessárias (não estavam no enunciado):
  • Vou usar c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} para a água (valor padrão). Se o enunciado der outro valor, repetir os cálculos com esse valor.
  • O pedido é a área de troca térmica necessária para a configuração indicada e comparar com referências (explicarei e compararei com counterflow e parallel como referência).

Passo 2

Calcular a carga térmica (taxa de calor) necessária para resfriar o fluido de processo de 80^\circ\mathrm{C} a 40^\circ\mathrm{C}.
Fórmula (energia no fluido quente):
\dot Q = \dot m_h\, c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Significado das variáveis:
  • \dot Q é a potência térmica transferida (W).
  • \dot m_h vazão mássica do fluido quente (kg/s).
  • c_{p,h} calor específico do fluido quente (J/(kg·K)).
  • T_{h,in} e T_{h,out} temperaturas de entrada e saída do fluido quente (ºC).
Cálculo:
\dot Q = 4\cdot 3500\cdot(80-40)=4\cdot3500\cdot40=560000\\ \mathrm{W}.
Portanto a vazão de calor necessária é \dot Q=560000\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Verificar a temperatura de saída da água e as capacidades térmicas (para checar consistência e definir parâmetros NTU).
Energia recebida pela água:
T_{c,out}=T_{c,in}+\frac{\dot Q}{\dot m_c\, c_{p,c}}.
Substituindo ( c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
T_{c,out}=10+\frac{560000}{5\cdot4180}=10+\frac{560000}{20900}.
Calcule:
\frac{560000}{20900}\approx26,7857,
T_{c,out}\approx36,7857^\circ\mathrm{C}.
Isso faz sentido físico: a água aquece de 10^\circ\mathrm{C} a \approx36{,}79^\circ\mathrm{C}, não ultrapassa o fluido quente, logo o processo é factível.
Agora as capacidades térmicas:
C_h=\dot m_h c_{p,h}=4\cdot3500=14000\\ \mathrm{W/K},
C_c=\dot m_c c_{p,c}=5\cdot4180=20900\\ \mathrm{W/K}.
Identificamos C_{\min}=C_h=14000\\ \mathrm{W/K} e C_{\max}=C_c=20900\\ \mathrm{W/K}.
Razão de capacidades:
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{14000}{20900}\approx0{,}66985.

Passo 4

Escolha do método: para escoamento cruzado com ambos os fluidos não misturados a forma direta é usar o método NTU–efetividade, porque há uma expressão analítica relativamente simples para a efetividade \varepsilon nesse caso. Explico os conceitos:
  • Efetividade \varepsilon é a razão entre a transferência térmica real \dot Q e a transferência máxima possível \dot Q_{\max} (que ocorreria se o fluido com menor capacidade térmica trocasse toda a sua disponibilidade térmica).
\dot Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,in}-T_{c,in}).
  • Relação prática:
\varepsilon=\frac{\dot Q}{\dot Q_{\max}}=\frac{\dot Q}{C_{\min}(T_{h,in}-T_{c,in})}.
  • Para crossflow com ambos os fluidos não misturados, a efetividade é dada pela expressão (forma padrão encontrada em livros de trocadores de calor):
\varepsilon = 1-\exp\!\Biggl[-\frac{1}{C_r}\Bigl(1-\exp(-C_r\cdot NTU)\Bigr)\Biggr],
onde
NTU=\frac{U A}{C_{\min}}.
Significados:
  • NTU é o número de transferência térmica sem dimensão (maior NTU → maior área ou maior U → maior troca).
  • A é a área que queremos achar.
  • U é o coeficiente global.

Passo 5

Calcular a efetividade a partir dos dados conhecidos e isolar NTU.
Primeiro \dot Q_{\max}:
\dot Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,in}-T_{c,in})=14000\cdot(80-10)=14000\cdot70=980000\\ \mathrm{W}.
Efetividade:
\varepsilon=\frac{\dot Q}{\dot Q_{\max}}=\frac{560000}{980000}=0{,}5714286.
A equação da efetividade escrita antes pode ser invertida para NTU. Passos algébricos (tudo em símbolos):
1-\varepsilon=\exp\!\Biggl[-\frac{1}{C_r}\Bigl(1-\exp(-C_r\cdot NTU)\Bigr)\Biggr].
Tomando logaritmo:
\ln(1-\varepsilon)=-\frac{1}{C_r}\Bigl(1-\exp(-C_r\cdot NTU)\Bigr).
Rearranjando:
1-\exp(-C_r\cdot NTU)=-C_r\ln(1-\varepsilon),
\exp(-C_r\cdot NTU)=1+C_r\ln(1-\varepsilon).
Tomando ln novamente:
-C_r\cdot NTU=\ln\!\bigl(1+C_r\ln(1-\varepsilon)\bigr),
NTU=-\frac{1}{C_r}\ln\!\bigl(1+C_r\ln(1-\varepsilon)\bigr).
Agora substituímos numericamente os valores:
\varepsilon=0{,}5714286,\qquad C_r\approx0{,}66985.
Calcule intermediários:
\ln(1-\varepsilon)=\ln(0{,}4285714)\approx-0{,}8472979,
C_r\ln(1-\varepsilon)\approx0{,}66985\cdot(-0{,}8472979)\approx-0{,}567564,
1+C_r\ln(1-\varepsilon)\approx0{,}432436,
\ln\bigl(1+C_r\ln(1-\varepsilon)\bigr)\approx\ln(0{,}432436)\approx-0{,}838338.
Finalmente
NTU\approx -\frac{1}{0{,}66985}\cdot(-0{,}838338)\approx\frac{0{,}838338}{0{,}66985}\approx1{,}2518.

Passo 6

Calcular a área A a partir de NTU.
Relação:
NTU=\frac{U A}{C_{\min}}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{NTU\; C_{\min}}{U}.
Substituindo:
A=\frac{1{,}2518\cdot 14000}{2000}=1{,}2518\cdot7\approx8{,}7626\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando com razoável precisão prática:
A_{\text{crossflow, ambos não misturados}}\approx 8{,}76\\ \mathrm{m^2}.ã

Passo 7

Comparação com arranjos de referência (para entender se o valor faz sentido):
Vou calcular rapidamente as áreas que seriam necessárias para arranjos ideais de counterflow e parallel-flow usando a relação clássica \dot Q = U A F \Delta T_{lm}, mas para counterflow e parallel F=1 e basta usar o LMTD. Aqui uso os valores de entrada/saída já calculados ( T_{h,out}=40^\circ\mathrm{C} e T_{c,out}\approx36{,}79^\circ\mathrm{C}).
Para counterflow:
\Delta T_1=T_{h,in}-T_{c,out}=80-36{,}7857=43{,}2143,
\Delta T_2=T_{h,out}-T_{c,in}=40-10=30,
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} =\frac{13{,}2143}{\ln(1{,}44048)}\approx36{,}26\\ \mathrm{K}.
Área:
A=\frac{\dot Q}{U\Delta T_{lm}}=\frac{560000}{2000\cdot36{,}26}\approx7{,}72\\ \mathrm{m^2}.
Para parallel flow:
\Delta T_1=T_{h,in}-T_{c,in}=80-10=70,
\Delta T_2=T_{h,out}-T_{c,out}=40-36{,}7857=3{,}2143,
\Delta T_{lm}=\frac{70-3{,}2143}{\ln(70/3{,}2143)}\approx21{,}68\\ \mathrm{K},
A=\frac{560000}{2000\cdot21{,}68}\approx12{,}92\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação / comparação:
  • Counterflow (melhor arranjo térmico ideal) necessita cerca de 7{,}72\\ \mathrm{m^2}.
  • Crossflow (ambos não misturados), que calculei explicitamente, necessita cerca de 8{,}76\\ \mathrm{m^2}.
  • Parallel flow (pior dentre esses três) necessita cerca de 12{,}92\\ \mathrm{m^2}.
Conclusões rápidas:
  • A área para crossflow está entre counterflow e parallel, como esperado: crossflow é menos eficiente que counterflow (exige \approx13{,}5\% a mais de área que counterflow) mas bem melhor que parallel (exige \approx32{,}2\% menos área que parallel).
  • O resultado numérico principal para a configuração pedida (crossflow, único passe, ambos não misturados) é consistente física e numericamente com os limites esperados.

Resposta

A_{\text{crossflow, ambos não misturados}}\approx 8{,}76\\ \mathrm{m^2}ã
A_{\text{counterflow (referência)}}\approx 7{,}72\\ \mathrm{m^2}ê
A_{\text{parallel (referência)}}\approx 12{,}92\\ \mathrm{m^2}ê

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