Um fluxo de água escoa através de um duto divergente. A área da seção de entrada e a velocidade de escoamento são 1 \mathrm{~m}^{2} e 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a seção de saída é quatro vezes maior que a seção de entrada, calcule a velocidade de saída da água e o fluxo em massa do escoamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A área da seção de entrada é A_1 = 1\\ \mathrm{m}^2.
  • A velocidade na entrada é v_1 = 1,5\\ \mathrm{m/s}.
  • A área da seção de saída é quatro vezes a da entrada, ou seja A_2 = 4A_1.
Perguntas:
  1. Calcular a velocidade de saída da água v_2.
  2. Calcular o fluxo em massa do escoamento \dot{m}.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado com calma): para um fluido incompressível em regime permanente, a massa que entra por unidade de tempo é igual à massa que sai por unidade de tempo. Isso leva à conservação do fluxo volumétrico. O fluxo volumétrico Q através de uma seção é definido por
Q = A v,
onde A é a área da seção (em \mathrm{m}^2) e v é a velocidade média do fluido nessa seção (em \mathrm{m/s}). Como Q é o mesmo em todas as seções, temos a equação de continuidade
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Aqui:
  • A_1 e A_2 são as áreas das seções de entrada e saída;
  • v_1 e v_2 são as velocidades média na entrada e saída;
  • Q é o fluxo volumétrico, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o fluxo volumétrico Q usando a seção de entrada (é mais simples e direto):
Q = A_1 v_1.
Substituindo os valores dados:
Q = 1\\ \mathrm{m}^2 \times 1,5\\ \mathrm{m/s} = 1,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Comentário prático: Q representa quantos metros cúbicos de água passam por segundo pela seção.

Passo 4

Determinar a velocidade de saída v_2 pela continuidade. Usando A_1 v_1 = A_2 v_2 e A_2 = 4A_1, temos:
v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{A_1 v_1}{4A_1} = \frac{v_1}{4}.
Agora substituímos v_1 = 1,5\\ \mathrm{m/s}:
v_2 = \frac{1,5\\ \mathrm{m/s}}{4} = 0,375\\ \mathrm{m/s}.
Observação sobre casas decimais: estamos usando vírgula como separador decimal, então 0,375\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o fluxo em massa \dot{m}. A relação entre fluxo de massa e fluxo volumétrico é
\dot{m} = \rho\, Q,
onde:
  • \dot{m} é o fluxo de massa (em \mathrm{kg/s});
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m}^3);
  • Q é o fluxo volumétrico (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Para água, assumimos a densidade típica \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (valor padrão à temperatura ambiente). Usando Q = 1,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
\dot{m} = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 \times 1,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 1500\\ \mathrm{kg/s}.
Verificação rápida de unidades: \mathrm{kg/m}^3 \times \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = \mathrm{kg/s}, ok.

Passo 6

Resumo e checagem final: a velocidade diminui porque a área aumentou (área 4 vezes maior → velocidade 1/4 da original). O fluxo de massa é grande porque o fluxo volumétrico é 1,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e a água é densa ( 1000\\ \mathrm{kg/m}^3) — então 1500\\ \mathrm{kg/s}. Boa — já dá pra decorar o raciocínio para a prova: use continuidade para velocidade e \dot{m}=\rho Q para fluxo de massa.

Resposta

v_2 = 0,375\\ \mathrm{m/s}
\dot{m} = 1500\\ \mathrm{kg/s}

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