Fluxo do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(x y, x^{2}\right) saindo do triângulo (0,0),(1,0),(1,1).

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos o fluxo de \mathbf{F}(x,y)=(xy,x^2) saindo do triângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,1). Vamos usar o Teorema de Green no plano, que converte o fluxo pela fronteira em integral dupla do divergente sobre a região.

Passo 2

Calculamos o divergente de \mathbf{F}:
\nabla\cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (x^2)}{\partial y} = y + 0 = y.

Passo 3

O domínio D é o triângulo limitado por y=0, x=1 e y=x. Em coordenadas cartesianas:
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x.
Pelo Teorema de Green:
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_{D}(\nabla\cdot \mathbf{F})\,dA = \iint_{D} y\,dA.

Passo 4

Avaliamo a integral:
\iint_{D} y\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x} y\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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