Identifique o domínio das funções:
f(x)=\frac{\sqrt{2^{x^{2}-1}}}{x^{2}-2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{2^{x^{2}-1}}}{x^{2}-2x-1}.
Para determinar o domínio, precisamos garantir dois pontos:
  1. O radicando de \sqrt{\;\cdot\;} deve ser não negativo.
  2. O denominador não pode ser zero.

Passo 2

Analisando o radicando:
2^{x^{2}-1}.
Como 2^{x^{2}-1}>0 para todo x\in\mathbb{R}, vale
2^{x^{2}-1}\ge0
automaticamente. Logo, não há restrição proveniente da raiz quadrada.

Passo 3

Agora o denominador:
x^{2}-2x-1 \neq 0.
Resolvendo x^{2}-2x-1=0 por Bhaskara:
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{8}}{2} =1\pm\sqrt{2}.
Portanto, devemos excluir x=1-\sqrt{2} e x=1+\sqrt{2}.

Resposta

O domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{\,1-\sqrt{2},\,1+\sqrt{2}\}
ou, em notação de intervalos,
(-\infty,\,1-\sqrt{2})\cup(1-\sqrt{2},\,1+\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2},\,\infty).

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