1. Fluxo exterior de um campo constante Mostre que o fluxo exterior de um campo vetorial constante \mathbf{F}=\mathbf{C} através de qualquer superfície fechada a qual o teorema da divergência se aplica é zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial constante \mathbf{F}=\mathbf{C} e qualquer superfície fechada S onde vale o teorema da divergência, o fluxo exterior
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
é igual a zero.

Passo 2

Aplicamos o teorema da divergência (ou de Gauss), que diz que, se V é o volume limitado por S e \mathbf{n} é o versor normal exterior a S, então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 3

Como \mathbf{F}=\mathbf{C} é constante, seu operador divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial C_{x}}{\partial x} + \frac{\partial C_{y}}{\partial y} + \frac{\partial C_{z}}{\partial z} = 0+0+0 = 0.

Passo 4

Substituindo no teorema da divergência, obtemos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V}0\,dV = 0.

Resposta

O fluxo exterior de um campo constante através de qualquer superfície fechada é zero.

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