Seja \mathbf{F} um campo vetorial diferenciável e seja g(x, y, z) uma função escalar diferenciável. Verifique as identidades a seguir.
\nabla \times(g \mathbf{F})=g \nabla \times \mathbf{F}+\nabla g \times \mathbf{F}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial diferenciável \mathbf F e uma função escalar diferenciável g(x,y,z), vale a identidade
\nabla \times (g\,\mathbf F) = g\,\nabla\times\mathbf F \;+\;\nabla g \times \mathbf F.
Para isso, vamos usar a expressão do rotacional via determinante.

Passo 2

Escrevemos o rotacional de g\mathbf F na forma de determinante:
\nabla\times(g\mathbf F) =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\[6pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z \\[3pt] gF_x & gF_y & gF_z \end{vmatrix}.]

Passo 3

Ao expandir a componente \mathbf i (componente x) obtemos
(\nabla\times(g\mathbf F))_x =\partial_y(gF_z)\;-\;\partial_z(gF_y).
Pelo produto de derivadas,
\partial_y(gF_z) = g\,\partial_yF_z + (\partial_y g)\,F_z, \quad \partial_z(gF_y) = g\,\partial_zF_y + (\partial_z g)\,F_y.
Logo,
(\nabla\times(g\mathbf F))_x = g\bigl(\partial_yF_z-\partial_zF_y\bigr) \;+\; (\partial_y g)\,F_z \;-\; (\partial_z g)\,F_y.
O primeiro termo é \displaystyle g\,(\nabla\times\mathbf F)_x e o segundo é \displaystyle (\nabla g\times\mathbf F)_x.

Passo 4

As componentes \mathbf j e \mathbf k se expandem de modo análogo, cada uma gerando um termo g\,(\nabla\times\mathbf F) e um termo \nabla g\times\mathbf F. Somando vetorialmente, concluímos
\nabla\times(g\mathbf F) = g\,\nabla\times\mathbf F + \nabla g\times\mathbf F.

Resposta

\displaystyle \nabla \times (g\,\mathbf F) = g\,\nabla \times \mathbf F + \nabla g \times \mathbf F.

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