Seja \mathbf{F} um campo vetorial diferenciável e seja g(x, y, z) uma função escalar diferenciável. Verifique as identidades a seguir. \nabla \times(g \mathbf{F})=g \nabla \times \mathbf{F}+\nabla g \times \mathbf{F}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial diferenciável \mathbf F e uma função escalar diferenciável g(x,y,z), vale a identidade
\nabla \times (g\,\mathbf F) = g\,\nabla\times\mathbf F \;+\;\nabla g \times \mathbf F.
Para isso, vamos usar a expressão do rotacional via determinante.
Passo 2
Escrevemos o rotacional de g\mathbf F na forma de determinante:
O primeiro termo é \displaystyle g\,(\nabla\times\mathbf F)_x e o segundo é \displaystyle (\nabla g\times\mathbf F)_x.
Passo 4
As componentes \mathbf j e \mathbf k se expandem de modo análogo, cada uma gerando um termo g\,(\nabla\times\mathbf F) e um termo \nabla g\times\mathbf F. Somando vetorialmente, concluímos
\nabla\times(g\mathbf F) = g\,\nabla\times\mathbf F + \nabla g\times\mathbf F.
Resposta
\displaystyle \nabla \times (g\,\mathbf F) = g\,\nabla \times \mathbf F + \nabla g \times \mathbf F.