1. Funções harmônicas Uma função f(x, y, z) é considerada harmônica em uma região D no espaço se ela satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2} f=\nabla \cdot \nabla f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0
em D.
a. Suponha que f seja harmônica em uma região D limitada por uma superfície lisa S e que n seja o vetor normal unitário escolhido em S. Mostre que a integral sobre S de \nabla f \cdot \mathbf{n}, a derivada de f na direção de \mathbf{n}, é zero.
b. Mostre que se f é harmônica em D, então
\iint_{S} f \nabla f \cdot \mathbf{n} d \sigma=\iiint_{D}|\nabla f|^{2} d V .

Passo 1

O enunciado diz que f(x,y,z) é harmônica em D, isto é,
\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0
em D, cujo contorno é a superfície lisa S com normal unitária \mathbf{n}. Vamos usar o Teorema da Divergência, que afirma para um campo vetorial \mathbf{F}:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma \;=\;\iiint_{D}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Para mostrar que
\iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=0,
escolhemos \mathbf{F}=\nabla f. Então
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}=\nabla\!\cdot\!(\nabla f)=\nabla^2 f=0
em D. Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\iiint_{D}\nabla^2 f\,dV =\iiint_{D}0\,dV =0.

Passo 3

Para mostrar que
\iint_{S}f\,\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\iiint_{D}|\nabla f|^2\,dV,
definimos o campo \mathbf{F}=f\,\nabla f. Calculamos a divergência usando a regra do produto:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} =\nabla\!\cdot\!(f\,\nabla f) =\nabla f\cdot\nabla f \;+\; f\,\nabla^2 f =|\nabla f|^2 + f\cdot 0 =|\nabla f|^2.
Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}f\,\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma =\iiint_{D}|\nabla f|^2\,dV.

Resposta

a) \displaystyle \iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=0.
b) \displaystyle \iint_{S}f\,\nabla f\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\iiint_{D}|\nabla f|^2\,dV.

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