1. Fluxo exterior de um campo gradiente Seja S a superfície da porção da esfera sólida x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2} que está no primeiro octante e seja f(x, y, z)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Calcule
\iint_{S} \nabla f \cdot \mathbf{n} d \sigma .
( \nabla f \cdot \mathbf{n} é a derivada de f na direção da normal exterior \mathbf{n}.)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf n\,d\sigma
onde S é a parte da superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que fica no primeiro octante, e
f(x,y,z)=\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,.
Para resolver, vamos (1) encontrar \nabla f, (2) calcular a derivada direcional \nabla f\cdot\mathbf n na esfera e (3) usar a área da parte esférica no primeiro octante.

Passo 2

Como
f(x,y,z)=\tfrac12\ln\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr),
temos
\nabla f =\frac12\cdot\frac{2(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2} =\frac{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2} =\frac{\mathbf r}{r^2},
onde \mathbf r=(x,y,z) e r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

Passo 3

Na superfície r=a, o vetor normal exterior unitário é
\mathbf n=\frac{\mathbf r}{r}=\frac{\mathbf r}{a}.
Logo,
\nabla f\cdot\mathbf n =\frac{\mathbf r}{r^2}\cdot\frac{\mathbf r}{r} =\frac{r^2}{r^3} =\frac1r =\frac1a.
Ou seja, o integrando é constante igual a 1/a.

Passo 4

A área da parte esférica no primeiro octante é um oitavo da área total da esfera de raio a:
\operatorname{Area}(S) =\frac{1}{8}\times4\pi a^2 =\frac{\pi a^2}{2}.

Passo 5

Multiplicando a constante \tfrac1a pela área \tfrac{\pi a^2}{2} temos
\iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf n\,d\sigma =\frac1a\cdot\frac{\pi a^2}{2} =\frac{\pi a}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi a}{2}

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