- Fluxo exterior de um campo gradiente Seja
a superfície da porção da esfera sólida
que está no primeiro octante e seja
. Calcule
(
é a derivada de
na direção da normal exterior
.)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
é a parte da superfície esférica
que fica no primeiro octante, e
Para resolver, vamos (1) encontrar
, (2) calcular a derivada direcional
na esfera e (3) usar a área da parte esférica no primeiro octante.
Passo 2
Como
temos
onde
e
.
Passo 3
Na superfície
, o vetor normal exterior unitário é
Logo,
Ou seja, o integrando é constante igual a
.
Passo 4
A área da parte esférica no primeiro octante é um oitavo da área total da esfera de raio
:
Passo 5
Multiplicando a constante
pela área
temos