1. Conservação de massa Seja \mathbf{v}(t, x, y, z) um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região D no espaço e seja p(t, x, y, z) uma função escalar continuamente diferenciável. A variável t representa o domínio de tempo. A lei da conservação de massa afirma que
\frac{d}{d t} \iiint_{D} p(t, x, y, z) d V=-\iint_{S} p \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d \sigma
onde S é a superfície delimitando D.
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se \mathbf{v} for um campo de velocidade do escoamento e p representar a densidade do fluido em um ponto (x, y, z) no instante t.
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
\frac{d}{d t} \iiint_{D} p(t, x, y, z) d V=\iiint_{D} \frac{\partial p}{\partial t} d V
para mostrar que a lei da conservação de massa é equivalente à equação de continuidade,
\nabla \cdot p \mathbf{v}+\frac{\partial p}{\partial t}=0
(No primeiro termo \nabla \cdot p \mathbf{v}, a variável t é mantida fixa, e no segundo termo \partial p / \partial t, é considerado que o ponto (x, y, z) em D seja mantido fixo.)

Passo 1

O enunciado apresenta a lei da conservação de massa para um fluido num volume fixo D com fronteira S:
\frac{d}{dt}\iiint_{D}p(t,x,y,z)\,dV \;=\; -\iint_{S}p\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,d\sigma.
Aqui \mathbf v(t,x,y,z) é o campo de velocidade e p(t,x,y,z) a densidade do fluido.
Conteúdo: cálculo vetorial (teorema da divergência) e análise (regra de Leibniz para integrais dependentes de parâmetro). Vamos primeiro dar a interpretação física (item a) e depois usar Leibniz e o teorema da divergência para chegar à equação de continuidade (item b).

Passo 2

Interpretação física (item a):
– A quantidade \displaystyle \iiint_{D}p\,dV é a massa total de fluido dentro de D no instante t.
– O termo \displaystyle \frac{d}{dt}\iiint_{D}p\,dV é a taxa de variação dessa massa no tempo.
– A integral de superfície \displaystyle \iint_{S}p\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,d\sigma mede o fluxo de massa que sai (ou entra, se for negativo) por S.
Portanto, a lei afirma que a variação da massa dentro de D é exatamente o negativo do fluxo de massa que escapa pela fronteira.

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz ao volume fixo D (item b):
\frac{d}{dt}\iiint_{D}p(t,x,y,z)\,dV =\iiint_{D}\frac{\partial p}{\partial t}(t,x,y,z)\,dV.

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência à integral de superfície:
\iint_{S}p\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,d\sigma =\iiint_{D}\nabla\cdot\bigl(p\,\mathbf v\bigr)\,dV.

Passo 5

Substituindo essas expressões na lei de conservação de massa dá
\iiint_{D}\frac{\partial p}{\partial t}\,dV \;=\; -\,\iiint_{D}\nabla\cdot\bigl(p\,\mathbf v\bigr)\,dV \;\Longrightarrow\; \iiint_{D}\Bigl(\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla\cdot(p\,\mathbf v)\Bigr)\,dV=0.

Passo 6

Como o volume D é arbitrário, a única forma de a integral ser zero para todo D é o integrando ser zero em cada ponto. Concluímos então
\boxed{\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla\cdot\bigl(p\,\mathbf v\bigr)=0,}
que é a equação de continuidade.

Resposta

(a) A equação diz que a taxa de variação da massa dentro de D é igual ao fluxo de massa que sai pela fronteira. Se mais massa sai do que entra, a massa em D diminui e vice-versa.
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à equação de continuidade
\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla\cdot(p\,\mathbf v)=0.

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