- Conservação de massa Seja
um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região
no espaço e seja
uma função escalar continuamente diferenciável. A variável
representa o domínio de tempo. A lei da conservação de massa afirma que
onde
é a superfície delimitando
.
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se
for um campo de velocidade do escoamento e
representar a densidade do fluido em um ponto
no instante
.
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
para mostrar que a lei da conservação de massa é equivalente à equação de continuidade,
(No primeiro termo
, a variável
é mantida fixa, e no segundo termo
, é considerado que o ponto
em
seja mantido fixo.)
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
Passo 1
O enunciado apresenta a lei da conservação de massa para um fluido num volume fixo
com fronteira
:
Aqui
é o campo de velocidade e
a densidade do fluido.
Conteúdo: cálculo vetorial (teorema da divergência) e análise (regra de Leibniz para integrais dependentes de parâmetro). Vamos primeiro dar a interpretação física (item a) e depois usar Leibniz e o teorema da divergência para chegar à equação de continuidade (item b).
Conteúdo: cálculo vetorial (teorema da divergência) e análise (regra de Leibniz para integrais dependentes de parâmetro). Vamos primeiro dar a interpretação física (item a) e depois usar Leibniz e o teorema da divergência para chegar à equação de continuidade (item b).
Passo 2
Interpretação física (item a):
– A quantidade é a massa total de fluido dentro de
no instante
.
– O termo é a taxa de variação dessa massa no tempo.
– A integral de superfície mede o fluxo de massa que sai (ou entra, se for negativo) por
.
Portanto, a lei afirma que a variação da massa dentro de é exatamente o negativo do fluxo de massa que escapa pela fronteira.
– A quantidade
– O termo
– A integral de superfície
Portanto, a lei afirma que a variação da massa dentro de
Passo 3
Aplicando a regra de Leibniz ao volume fixo
(item b):
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência à integral de superfície:
Passo 5
Substituindo essas expressões na lei de conservação de massa dá
Passo 6
Como o volume
é arbitrário, a única forma de a integral ser zero para todo
é o integrando ser zero em cada ponto. Concluímos então
que é a equação de continuidade.
Resposta
(a) A equação diz que a taxa de variação da massa dentro de
é igual ao fluxo de massa que sai pela fronteira. Se mais massa sai do que entra, a massa em
diminui e vice-versa.
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à equação de continuidade
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à equação de continuidade