1. Fluxo exterior de um campo gradiente Seja S a superfície da porção da esfera sólida x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2} que está no primeiro octante e seja f(x, y, z)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Calcule
\iint_{S} \nabla f \cdot \mathbf{n} d \sigma .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \displaystyle \iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf n\,d\sigma
através da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante, onde
f(x,y,z)=\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O conteúdo é cálculo de fluxo de um campo gradiente; vamos usar que em coordenadas esféricas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 2

Escrevendo f em função de r, temos f(r)=\ln r. Logo
\nabla f=\frac{d}{dr}(\ln r)\,\nabla r =\frac{1}{r}\,\frac{(x,y,z)}{r} =\frac{(x,y,z)}{r^{2}}.

Passo 3

Na superfície S vale r=a e a normal unitária externa é \displaystyle \mathbf n=\frac{(x,y,z)}{a}.
Então
\nabla f\cdot\mathbf n =\frac{(x,y,z)}{a^{2}}\cdot\frac{(x,y,z)}{a} =\frac{a^{2}}{a^{3}} =\frac{1}{a}.

Passo 4

Como \nabla f\cdot\mathbf n é constante igual a 1/a em S,
\iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf n\,d\sigma =\frac{1}{a}\,\mathrm{Area}(S). S é um oitavo da esfera completa, cujo área é 4\pi a^{2}. Logo
\mathrm{Area}(S)=\frac{1}{8}\,4\pi a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}\nabla f\cdot\mathbf n\,d\sigma =\frac{1}{a}\cdot\frac{\pi a^{2}}{2} =\frac{\pi a}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi a}{2}.

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