1. Circulação zero Seja f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}. Mostre que a circulação em sentido horário do campo \mathbf{F}=\nabla f ao redor da circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} no plano x y é zero:
    a. tomando \mathbf{r}=(a \cos t) \mathbf{i}+(a \operatorname{sen} t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi, e integrando \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a circunferência.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a circulação em sentido horário do campo
\mathbf{F}=\nabla f,\quad f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-1/2}
ao redor da circunferência de raio a no plano xy é zero. Para isso, vamos parametrizar essa circunferência e calcular
\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Primeiro, obtenho o gradiente de f. Como
f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2},
temos, por derivação coordenada a coordenada,
\mathbf{F}=\nabla f =-\tfrac12\,(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}\,2\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}) =-(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k})\,(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}.

Passo 3

No plano z=0, a circunferência de raio a pode ser parametrizada (no sentido horário) por
\mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}-a\sin t\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le2\pi.
Logo
\mathbf{r}'(t)=-a\sin t\,\mathbf{i}-a\cos t\,\mathbf{j}.
Como em todo ponto da curva x^2+y^2=a^2 e z=0, temos
x^2+y^2+z^2=a^2,
então ao longo da curva
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =-\bigl(a\cos t\,\mathbf{i}+a(-\sin t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}\bigr)\,a^{-3} =-a^{-2}\bigl(\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j}\bigr).

Passo 4

Agora o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é
\bigl[-a^{-2}(\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j})\bigr]\cdot \bigl[-a\sin t\,\mathbf{i}-a\cos t\,\mathbf{j}\bigr]
= -a^{-2}\bigl[-a\cos t\sin t + a\sin t\cos t\bigr] = -a^{-2}\cdot0 =0.

Passo 5

Como o integrando é identicamente zero, a circulação é
\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}0\,dt =0.

Resposta

A circulação de \mathbf{F}=\nabla f ao redor da circunferência x^2+y^2=a^2 no plano xy é zero.

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