1. Rotacional zero, mas campo não conservativo Mostre que o rotacional de
\mathbf{F}=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}+z \mathbf{k}
é zero, mas que
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}
e pede duas coisas: (i) mostrar que o rotacional de \mathbf{F} é zero e (ii) mostrar que o integral de linha fechado
\displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
sobre a curva C — tipicamente a circunferência unitária no plano z=0 — não é nulo. Para isso vamos precisar da definição de rotacional em coordenadas cartesianas e da parametrização clássica de C.

Passo 2

O rotacional é dado por
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&z \end{vmatrix}.
Calculamos cada componente usando derivadas parciais.

Passo 3

Para a componente \mathbf{i}:
(\nabla\times\mathbf{F})_{x} =\frac{\partial}{\partial y}(z)\;-\;\frac{\partial}{\partial z}\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =0-0=0.
Para a componente \mathbf{j}:
(\nabla\times\mathbf{F})_{y} =\frac{\partial}{\partial z}\!\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\;-\;\frac{\partial}{\partial x}(z) =0-0=0.
Para a componente \mathbf{k}:
(\nabla\times\mathbf{F})_{z} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).
Computando
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =\frac{(x^{2}+y^{2})-x\cdot2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{(x^{2}+y^{2})-y\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_{z} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =0.
Assim,
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 4

Agora parametrize C como a circunferência unitária em z=0:
\mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(\sin t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k},\quad t\in[0,2\pi].
Então
d\mathbf{r}=(-\sin t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}\,dt.

Passo 5

Em z=0 temos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\frac{-\sin t}{\cos^{2}t+\sin^{2}t}\,\mathbf{i} +\frac{\cos t}{\cos^{2}t+\sin^{2}t}\,\mathbf{j} +0\,\mathbf{k} =-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}.
O produto escalar é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot d\mathbf{r} =\bigl(-\sin t\bigr)\bigl(-\sin t\bigr) +(\cos t)(\cos t)\;dt =\sin^{2}t+\cos^{2}t\;dt=1\;dt.

Passo 6

Logo o integral de linha fechado é
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi\neq0.
Isto mostra que, apesar de \nabla\times\mathbf{F}=0, o campo não é conservativo porque o domínio (plano com origem removida) não é simplesmente conexo.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}
\displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi

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