O fluxo térmico que é aplicado na face esquerda de uma parede plana é q^{\prime \prime}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A parede tem espessura igual a \mathrm{L}=10 \mathrm{~mm} e sua condutividade térmica é \mathrm{k}=12 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Se as temperaturas superficiais forem medidas, sendo iguais a 50^{\circ} \mathrm{C} no lado esquerdo e 30^{\circ} \mathrm{C} no lado direito, condições de regime estacionário estão presentes?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Fluxo térmico aplicado na face esquerda: q''=20\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Espessura da parede: L=10\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica: k=12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperaturas superficiais medidas: temperatura do lado esquerdo T_{\text{esq}}=50^\circ\mathrm{C} e do lado direito T_{\text{dir}}=30^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede: verificar se as condições de regime estacionário (estado estacionário) estão presentes com os dados acima.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
  • Em regime estacionário, para condução unidimensional, sem geração interna e com condutividade constante, o fluxo de calor por unidade de área através da parede é constante e é dado pela Lei de Fourier em forma integrada. Para uma parede plana com perfil de temperatura linear entre as superfícies,
q'' = k\,\frac{T_{\text{esq}}-T_{\text{dir}}}{L}.
  • Aqui q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W/m^{2}}), k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}), T_{\text{esq}} e T_{\text{dir}} são as temperaturas nas faces esquerda e direita (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}; diferenças de temperatura são equivalentes nas duas escalas) e L é a espessura da parede (em \mathrm{m}).
  • Ideia prática para checar o regime estacionário: comparar o fluxo térmico aplicado ( q'' dado) com o fluxo calculado a partir da diferença de temperatura medida usando a fórmula acima. Em regime estacionário eles devem coincidir. Outra forma é calcular a diferença de temperatura esperada para o q'' aplicado e comparar com a diferença medida.

Passo 3

Conversão de unidades e preparação dos números (sempre verificar unidades!):
  • Converter L para metros:
L=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura medida:
\Delta T = T_{\text{esq}}-T_{\text{dir}} = 50^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=20\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o fluxo condutivo que corresponderia às temperaturas medidas usando a Lei de Fourier:
q''_{\text{calc}} = k\,\frac{\Delta T}{L} = 12\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}}\cdot\frac{20\\ \mathrm{K}}{0,01\\ \mathrm{m}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{20}{0,01}=2000,
q''_{\text{calc}} = 12\times2000 = 24000\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Comparação e interpretação:
  • O fluxo calculado a partir das temperaturas medidas é q''_{\text{calc}}=2{,}4\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • O fluxo aplicado informado no enunciado é q''=20\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Esses valores são muito diferentes (fator 1200 de diferença). Em regime estacionário o fluxo através da parede deve ser o mesmo que o fluxo aplicado na face; portanto os dados são incompatíveis com regime estacionário.

Passo 6

Outra verificação (opcional, útil na prova): calcular a diferença de temperatura esperada se realmente o fluxo aplicado fosse 20\\ \mathrm{W/m^{2}}:
\Delta T_{\text{esperado}} = \frac{q'' L}{k} = \frac{20\\ \mathrm{W/m^{2}}\times0,01\\ \mathrm{m}}{12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}} = \frac{0,2}{12}=0{,}016\,\overline{6}\\ \mathrm{K}.
Esse \Delta T_{\text{esperado}}\approx0{,}017\\ \mathrm{K} é praticamente zero, muito diferente da \Delta T=20\\ \mathrm{K} medida — reforçando que não há consistência com regime estacionário.

Passo 7

Conclusão didática breve e possíveis causas (para entender o que pode ter ocorrido):
  • Como as medidas e o fluxo aplicado são incompatíveis em regime estacionário, uma explicação plausível é que o sistema não está em regime estacionário (por exemplo está em regime transiente e as superfícies ainda não se ajustaram), ou que existe alguma outra resistência térmica não informada (contato, isolamento, convecção externa diferente nas faces) ou erro de medição. Na prova, o procedimento é sempre o mesmo: usar a Lei de Fourier, comparar fluxos ou diferenças de temperatura e checar unidades.

Resposta

Não. O fluxo condutivo calculado a partir das temperaturas é 2{,}4\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}, muito maior que o fluxo aplicado de 20\\ \mathrm{W/m^{2}}, portanto os dados são incompatíveis com regime estacionário.

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