Informa-se que a condutividade térmica de uma folha de isolante extrudado rígido é igual a \mathrm{k}=0,029 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). A diferença de temperaturas medida entre as superfícies de uma folha com 20 mm de espessura deste material é \mathrm{T}_{1}-\mathrm{T}_{2}=10^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual é o fluxo térmico através de uma folha do isolante com 2 \mathrm{~m} \times 2 \mathrm{~m} ?
b) Qual é a taxa de transferência de calor através da folha de isolante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Condutividade térmica: k=0,029\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Diferença de temperatura entre as superfícies: \,T_{1}-T_{2}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da folha: 20\\ \mathrm{mm}.
  • Dimensões da folha: 2\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o fluxo térmico através da folha do isolante com 2\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m} ?
b) Qual é a taxa de transferência de calor através da folha de isolante?
Observação importante (para não confundir na prova): muitas vezes “fluxo térmico” refere-se ao fluxo por unidade de área (densidade de fluxo, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) enquanto “taxa de transferência de calor” refere-se à potência total (em \mathrm{W}). Vou calcular primeiro o fluxo por unidade de área e depois a taxa total de transferência de calor através da folha.

Passo 2

Apresento a lei que usamos (explicando cada símbolo) — lei de Fourier para condução estacionária unidimensional através de uma placa plana:
\dot{q}=-k\,\frac{dT}{dx}
  • Aqui \dot{q} é o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • k é a condutividade térmica, em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • dT/dx é o gradiente de temperatura na direção da espessura, em \mathrm{K}/\mathrm{m}.
  • O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento de temperatura (de quente para frio). Para obtermos a magnitude usamos a fórmula sem o sinal negativo.
Para uma lâmina com variação de temperatura uniforme através da espessura (gradiente constante) podemos escrever a magnitude do fluxo como:
\dot{q}=k\,\frac{\Delta T}{L}
  • \Delta T é a diferença \,T_{1}-T_{2}.
  • L é a espessura da placa.
A taxa total de calor (potência) que atravessa a placa é o fluxo por unidade de área multiplicado pela área:
\dot{Q}=\dot{q}\cdot A
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor total, em \mathrm{W}.
  • A é a área da folha, em \mathrm{m}^2.

Passo 3

Converto unidades para o SI e calculo a área e a espessura em metros:
  • Espessura: 20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m}.
    (Foi preciso transformar porque k está em unidades por metro.)
  • Área: A=2\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}=4\\ \mathrm{m}^2.
Também escrevo os números dados em forma pronta para usar na fórmula:
  • k=0,029\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • \Delta T=10\\ \mathrm{K} (diferença de 10^\circ\mathrm{C} equivale a 10\\ \mathrm{K}).
  • L=0,02\\ \mathrm{m}.
  • A=4\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calculo o fluxo térmico por unidade de área usando a fórmula \dot{q}=k\,\dfrac{\Delta T}{L}. Faço as contas passo a passo:
\frac{\Delta T}{L}=\frac{10}{0,02}=500\quad\left(\mathrm{K}/\mathrm{m}\right)
\dot{q}=0,029\cdot 500=14{,}5\quad\left(\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\right)
Interpretação rápida: isso significa que, em cada metro quadrado da folha, atravessam 14{,}5\\ \mathrm{W} devido à diferença de 10^\circ\mathrm{C} através de 20\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora calculo a taxa total de transferência de calor multiplicando pela área:
\dot{Q}=\dot{q}\cdot A=14{,}5\cdot 4=58\quad(\mathrm{W})
Comentário sobre sinal: usei as magnitudes. Se quisesse indicar direção (do lado mais quente para o mais frio), escreveria \dot{q}=-14{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e \dot{Q}=-58\\ \mathrm{W}, mas normalmente em problemas práticos interessa a magnitude do fluxo/ taxa.

Resposta

\dot{q}=14{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
\dot{Q}=58\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados