Um circuito de corrente contínua possui quatro malhas independentes. As correntes ( i_{1}, i_{2}, i_{3} e i_{4} ) (em Ampères) são dadas por:
\left\{\begin{array}{c} 10 i_{1}-2 i_{2}=13 \\\\ -2 i_{1}+12 i_{2}-5 i_{3}=0 \\\\ -4 i_{2}+13 i_{3}-5 i_{4}=8 \\\\ -5 i_{3}+10 i_{4}=10 \end{array}\right.
Determine as correntes, com 2 casas decimais usando arredondamento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações para as correntes i_{1},i_{2},i_{3},i_{4} (em ampères) e pede para determinar cada corrente com duas casas decimais (arredondamento). As equações fornecidas são:
\left\{\begin{array}{r} 10\,i_{1}-2\,i_{2}=13\\[4pt] -2\,i_{1}+12\,i_{2}-5\,i_{3}=0\\[4pt] -4\,i_{2}+13\,i_{3}-5\,i_{4}=8\\[4pt] -5\,i_{3}+10\,i_{4}=10 \end{array}\right.
O que se pede: calcular \;i_{1},\;i_{2},\;i_{3},\;i_{4}\; e apresentar cada valor com duas casas decimais.]

Passo 2

Estratégia escolhida (não foi pedido um método específico): usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas do sistema) seguida de substituição para obter as incógnitas. Rápida explicação do método: escrevemos a matriz aumentada do sistema, usamos operações do tipo L_{k}\leftarrow L_{k}+c\cdot L_{j} para zerar entradas abaixo do pivô, reduzimos a matriz a uma forma triangular superior e então fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas. Operações são escolhidas para evitar muitos números decimais quando possível.
Matriz aumentada inicial (linhas L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}):
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & -2 & 0 & 0 & 13\\[4pt] -2 & 12 & -5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 13 & -5 & 8\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 10 & 10 \end{array}\right]]

Passo 3

Primeira etapa: eliminar o -2 em L_{2} usando L_{1} como pivô.
Fator para zerar: \displaystyle c = \frac{-2}{10}=-0,2. A operação usada é L_{2}\leftarrow L_{2} + 0,2\,L_{1}.
Calculando cada componente de L_{2}:
\begin{array}{l} -2 + 0{,}2\cdot 10 = 0,\\[4pt] 12 + 0{,}2\cdot(-2)=12 -0{,}4=11{,}6,\\[4pt] -5 + 0{,}2\cdot 0 = -5,\\[4pt] 0 + 0{,}2\cdot 0 = 0,\\[4pt] 0 + 0{,}2\cdot 13 = 2{,}6. \end{array}
Matriz após essa operação:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & -2 & 0 & 0 & 13\\[4pt] 0 & 11{,}6 & -5 & 0 & 2{,}6\\[4pt] 0 & -4 & 13 & -5 & 8\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 10 & 10 \end{array}\right]]

Passo 4

Segunda etapa: eliminar o -4 de L_{3} (coluna 2) usando L_{2} como pivô. O pivô é 11{,}6.
Fator que transforma o elemento de L_{2} em -4 é \displaystyle c=\frac{-4}{11{,}6}=-\frac{10}{29}. Para zerar fazemos L_{3}\leftarrow L_{3} + \frac{10}{29}L_{2} (porque \frac{10}{29}\cdot 11{,}6=4, e -4+4=0).
Calculando os novos termos de L_{3} (faço em frações/exatas quando conveniente):
\begin{array}{l} \text{coluna 2: } -4 + \frac{10}{29}\cdot 11{,}6 = 0,\\[6pt] \text{coluna 3: } 13 + \frac{10}{29}\cdot(-5)=13 - \frac{50}{29}=\frac{377-50}{29}=\frac{327}{29},\\[6pt] \text{coluna 4: } -5 + \frac{10}{29}\cdot 0 = -5,\\[6pt] \text{RHS: } 8 + \frac{10}{29}\cdot 2{,}6=8 + \frac{26}{29}=\frac{8\cdot 29 +26}{29}=\frac{232+26}{29}=\frac{258}{29}. \end{array}
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & -2 & 0 & 0 & 13\\[4pt] 0 & 11{,}6 & -5 & 0 & 2{,}6\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{327}{29} & -5 & \dfrac{258}{29}\\[8pt] 0 & 0 & -5 & 10 & 10 \end{array}\right]]

Passo 5

Terceira etapa: eliminar o -5 em L_{4} (coluna 3) usando L_{3} como pivô. O pivô é \dfrac{327}{29}.
Fator para zerar a posição em L_{4} é \displaystyle c=\frac{-5}{\frac{327}{29}}=-\frac{5\cdot 29}{327}=-\frac{145}{327}. Então fazemos L_{4}\leftarrow L_{4} + \frac{145}{327}L_{3} (note que \frac{145}{327}\cdot \frac{327}{29}= \frac{145}{29}=5, e -5+5=0).
Calculando os novos termos de L_{4}:
\begin{array}{l} \text{coluna 3: } -5 + \frac{145}{327}\cdot\frac{327}{29}=0,\\[6pt] \text{coluna 4: } 10 + \frac{145}{327}\cdot(-5)=10 - \frac{725}{327}=\frac{10\cdot 327 -725}{327}=\frac{3270-725}{327}=\frac{2545}{327},\\[6pt] \text{RHS: } 10 + \frac{145}{327}\cdot\frac{258}{29} = 10 + \frac{145\cdot 258}{327\cdot 29}. \end{array}
Simplificando a RHS: observe 145=5\cdot 29, então
\frac{145\cdot 258}{327\cdot 29}=\frac{5\cdot 29\cdot 258}{327\cdot 29}=\frac{5\cdot 258}{327}=\frac{1290}{327}.
Então RHS nova =10 + \dfrac{1290}{327}=\dfrac{10\cdot 327 +1290}{327}=\dfrac{3270+1290}{327}=\dfrac{4560}{327}.
Portanto L_{4} fica:
\left[0\;\;0\;\;0\;\;\dfrac{2545}{327}\;\Big|\;\dfrac{4560}{327}\right].
A matriz triangular superior final é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & -2 & 0 & 0 & 13\\[4pt] 0 & 11{,}6 & -5 & 0 & 2{,}6\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{327}{29} & -5 & \dfrac{258}{29}\\[8pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{2545}{327} & \dfrac{4560}{327} \end{array}\right]]

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva. Da última linha temos a equação (linha 4):
\frac{2545}{327}\,i_{4}=\frac{4560}{327}.
Isolando i_{4}:
i_{4}=\frac{\dfrac{4560}{327}}{\dfrac{2545}{327}}=\frac{4560}{2545}.
Simplificando a fração dividindo por 5:
i_{4}=\frac{912}{509}\approx 1{,}791\ldots
Com duas casas decimais (arredondando) teremos i_{4}=1{,}79\\ \text{A}. (Vamos manter mais casas internamente para não acumular erro nas substituições.)

Passo 7

Agora linha 3 fornece:
\frac{327}{29}\,i_{3}-5\,i_{4}=\frac{258}{29}.
Isolando i_{3}:
i_{3}=\frac{\dfrac{258}{29}+5\,i_{4}}{\dfrac{327}{29}}=\frac{258+145\,i_{4}}{327}.
Substituindo i_{4}=\dfrac{912}{509} (valor exato obtido):
i_{3}=\frac{258 + 145\cdot\frac{912}{509}}{327}=\frac{263562}{166443}\approx 1{,}583497\ldots
Arredondando para duas casas decimais: i_{3}=1{,}58\\ \text{A}.

Passo 8

Linha 2 (na forma que temos) era:
11{,}6\,i_{2}-5\,i_{3}=2{,}6.
Para evitar decimais podemos multiplicar por 5 (já que 11{,}6=\tfrac{58}{5} e 2{,}6=\tfrac{13}{5}), mas é simples isolar:
i_{2}=\frac{2{,}6 + 5\,i_{3}}{11{,}6}.
Substituindo i_{3}\approx 1{,}583497\ldots:
i_{2}\approx\frac{2{,}6 + 5\cdot 1{,}583497}{11{,}6}=\frac{10{,}517485}{11{,}6}\approx 0{,}906091\ldots
Arredondando para duas casas decimais: i_{2}=0{,}91\\ \text{A}.
(Se quiser o exato em fração: usando os valores racionais anteriores obtemos i_{2}=\dfrac{8752809}{9653694}\approx0{,}906091\ldots, mas não é necessário aqui.)

Passo 9

Finalmente, linha 1 dá:
10\,i_{1}-2\,i_{2}=13.
Isolando i_{1}:
i_{1}=\frac{13+2\,i_{2}}{10}.
Substituindo i_{2}\approx 0{,}906091\ldots:
i_{1}\approx\frac{13 + 2\cdot 0{,}906091}{10}=\frac{14{,}812182}{10}=1{,}4812182\ldots
Arredondando para duas casas decimais: i_{1}=1{,}48\\ \text{A}.

Passo 10

Resumo (valores aproximados com duas casas decimais, usando arredondamento):
\begin{array}{l} i_{1}\approx 1{,}48\\ \text{A},\\[4pt] i_{2}\approx 0{,}91\\ \text{A},\\[4pt] i_{3}\approx 1{,}58\\ \text{A},\\[4pt] i_{4}\approx 1{,}79\\ \text{A}. \end{array}]

Resposta

i_{1}=1{,}48\\ \text{A}
i_{2}=0{,}91\\ \text{A}
i_{3}=1{,}58\\ \text{A}
i_{4}=1{,}79\\ \text{A}

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