Seja
uma matriz real tal que
. Prove por indução que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
dada por:
O objetivo é provar, por indução, que para qualquer
inteiro positivo,
é igual a:
Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa igualdade envolvendo matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma prova por indução. Indução é uma técnica que usamos para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela tem dois passos principais:
- Caso Base: Mostramos que a afirmação é verdadeira para
. - Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um certo
e, com base nisso, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos aplicar isso ao nosso caso com a matriz
.
Passo 3
Caso Base (
)
Primeiro, vamos verificar se a expressão dada para
está correta quando
.
Calculando
diretamente:
Agora, substituindo
na expressão fornecida:
Portanto,
Que coincide com o que tínhamos inicialmente. Então, o caso base está confirmado.
Passo 4
Passo Indutivo
Agora, vamos assumir que a expressão dada para
é verdadeira para
. Ou seja, assumimos que:
Com essa suposição, precisamos provar que a expressão também vale para
, ou seja, mostrar que:
Vamos multiplicar
por
e ver se conseguimos chegar nessa expressão.
Passo 5
Multiplicando
por
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Passo 6
Comparando com a expressão desejada
Agora, vamos comparar os resultados obtidos com a expressão que queremos provar para
:
- Elemento (1,1):
Perceba que
, já que
.
- Elemento (1,2):
Novamente,
.
- Elemento (2,1):
Exatamente igual!
- Elemento (2,2):
Também exatamente igual!
Isso mostra que, se a expressão é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro positivo
, a igualdade dada para
é verdadeira.