Seja A uma matriz real tal que A=[cc2 & 2 -1 & 5]. Prove por indução que:
A^n=[cc -cdot 4^n+2 cdot 3^n & 2 cdot 4^n-2 cdot 3^n -4^n+3^n & 2 cdot 4^n-3^n ]=4^n[ll -1 & 2 -1 & 2 ]+3^n[ll 2 & -2 1 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = 2 & 2 -1 & 5 dada por:
A^n = -4^n + 2 cdot 3^n & 2 cdot 4^n - 2 cdot 3^n -4^n + 3^n & 2 cdot 4^n - 3^n = 4^n -1 & 2 -1 & 2 + 3^n 2 & -2 1 & -1
O objetivo é provar, por indução, que para qualquer inteiro positivo, é igual a:
Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa igualdade envolvendo matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma prova por indução. Indução é uma técnica que usamos para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela tem dois passos principais:
  1. Caso Base: Mostramos que a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um certo e, com base nisso, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos aplicar isso ao nosso caso com a matriz .

Passo 3

Caso Base ( A^1 = A = 2 & 2 -1 & 5 )
Primeiro, vamos verificar se a expressão dada para -4^1 + 2 cdot 3^1 = -4 + 6 = 2 está correta quando 2 cdot 4^1 - 2 cdot 3^1 = 8 - 6 = 2 .
Calculando -4^1 + 3^1 = -4 + 3 = -1 diretamente:
2 cdot 4^1 - 3^1 = 8 - 3 = 5
Agora, substituindo A^1 = 2 & 2 -1 & 5 na expressão fornecida:
Portanto,
Que coincide com o que tínhamos inicialmente. Então, o caso base está confirmado.

Passo 4

Passo Indutivo
Agora, vamos assumir que a expressão dada para A^k = -4^k + 2 cdot 3^k & 2 cdot 4^k - 2 cdot 3^k -4^k + 3^k & 2 cdot 4^k - 3^k é verdadeira para A^k+1 = A^k cdot A = -4^k+1 + 2 cdot 3^k+1 & 2 cdot 4^k+1 - 2 cdot 3^k+1 -4^k+1 + 3^k+1 & 2 cdot 4^k+1 - 3^k+1 . Ou seja, assumimos que:
Com essa suposição, precisamos provar que a expressão também vale para , ou seja, mostrar que:
Vamos multiplicar por e ver se conseguimos chegar nessa expressão.

Passo 5

Multiplicando A^k cdot A = -4^k + 2 cdot 3^k & 2 cdot 4^k - 2 cdot 3^k -4^k + 3^k & 2 cdot 4^k - 3^k cdot 2 & 2 -1 & 5 por (-4^k + 2 cdot 3^k) cdot 2 + (2 cdot 4^k - 2 cdot 3^k) cdot (-1)
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
= -2 cdot 4^k + 4 cdot 3^k - 2 cdot 4^k + 2 cdot 3^k
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  1. Elemento (1,1):
= -4 cdot 4^k + 6 cdot 3^k
= -4^k+1 + 6 cdot 3^k
(-4^k + 2 cdot 3^k) cdot 2 + (2 cdot 4^k - 2 cdot 3^k) cdot 5
= -8^k + 4 cdot 3^k + 10 cdot 4^k - 10 cdot 3^k
  1. Elemento (1,2):
= 2 cdot 4^k+1 - 6 cdot 3^k
(-4^k + 3^k) cdot 2 + (2 cdot 4^k - 3^k) cdot (-1)
= -8^k + 6^k - 2 cdot 4^k + 3^k
  1. Elemento (2,1):
= -4^k+1 + 3^k+1
(-4^k + 3^k) cdot 2 + (2 cdot 4^k - 3^k) cdot 5
= -8^k + 6^k + 10 cdot 4^k - 15^k
  1. Elemento (2,2):
= 2 cdot 4^k+1 - 3^k+1

Passo 6

Comparando com a expressão desejada
Agora, vamos comparar os resultados obtidos com a expressão que queremos provar para -4^k+1 + 6 cdot 3^k vs -4^k+1 + 2 cdot 3^k+1 :
  1. Elemento (1,1):
2 cdot 4^k+1 - 6 cdot 3^k vs 2 cdot 4^k+1 - 2 cdot 3^k+1
Perceba que -4^k+1 + 3^k+1 igual à -4^k+1 + 3^k+1 , já que 2 cdot 4^k+1 - 3^k+1 igual à 2 cdot 4^k+1 - 3^k+1 .
  1. Elemento (1,2):
Novamente, .
  1. Elemento (2,1):
à
Exatamente igual!
  1. Elemento (2,2):
à
Também exatamente igual!
Isso mostra que, se a expressão é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro positivo , a igualdade dada para é verdadeira.

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