sumi=1^n F2 i-1=F2 n

Passo 1

Vamos provar que a soma dos termos de ordem ímpar da sequência de Fibonacci até o termo é igual a . Para isso, vamos usar os conceitos básicos da sequência de Fibonacci e a técnica de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, lembremos como funciona a sequência de Fibonacci. Ela é definida da seguinte forma:
F0 = 0, F1 = 1
E, para Fk = Fk-1 + Fk-2 :
Ou seja, cada termo é a soma dos dois anteriores.

Passo 3

Queremos calcular a soma dos termos de ordem ímpar até sumi=1^n F2i-1 = F1 + F3 + F5 + dots + F2n-1 :
E mostrar que essa soma é igual a .

Passo 4

Vamos usar o método de indução matemática para provar essa igualdade. A indução matemática é uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, verificando primeiro um caso base e depois mostrando que, se a afirmação for verdadeira para um caso qualquer, ela também será para o próximo.

Passo 5

Caso Base: Vamos verificar para sumi=1^1 F2i-1 = F1 = 1 .
F2 times 1 = F2 = 1
E,
Portanto, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 6

Passo Indutivo: Suponha que a igualdade seja verdadeira para algum sumi=1^k F2i-1 = F2k , ou seja:
sumi=1^k+1 F2i-1 = F2(k+1)
Queremos mostrar que então:

Passo 7

Vamos calcular a soma para sumi=1^k+1 F2i-1 = ( sumi=1^k F2i-1 ) + F2(k+1)-1 = F2k + F2k+1 :
Aqui, usamos a hipótese indutiva para substituir a soma parcial.

Passo 8

Sabemos pela definição da sequência de Fibonacci que:
F2k+2 = F2k+1 + F2k
Portanto:
F2k + F2k+1 = F2k+2
Isso mostra que:
sumi=1^k+1 F2i-1 = F2k+2
Ou seja:
sumi=1^k+1 F2i-1 = F2(k+1)

Passo 9

Assim, pela indução matemática, se a igualdade vale para e se ela sendo verdadeira para implica que ela também é verdadeira para , então ela é verdadeira para todo número natural .

Resposta

sumi=1^n F2i-1 = F2n

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