Passo 1
Vamos provar que a soma dos termos de ordem ímpar da sequência de Fibonacci até o termo
é igual a
. Para isso, vamos usar os conceitos básicos da sequência de Fibonacci e a técnica de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, lembremos como funciona a sequência de Fibonacci. Ela é definida da seguinte forma:
E, para
:
Ou seja, cada termo é a soma dos dois anteriores.
Passo 3
Queremos calcular a soma dos termos de ordem ímpar até
:
E mostrar que essa soma é igual a
.
Passo 4
Vamos usar o método de indução matemática para provar essa igualdade. A indução matemática é uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais, verificando primeiro um caso base e depois mostrando que, se a afirmação for verdadeira para um caso qualquer, ela também será para o próximo.
Passo 5
Caso Base: Vamos verificar para
.
E,
Portanto, para
, a igualdade
é verdadeira.
Passo 6
Passo Indutivo: Suponha que a igualdade seja verdadeira para algum
, ou seja:
Queremos mostrar que então:
Passo 7
Vamos calcular a soma para
:
Aqui, usamos a hipótese indutiva para substituir a soma parcial.
Passo 8
Sabemos pela definição da sequência de Fibonacci que:
Portanto:
Isso mostra que:
Ou seja:
Passo 9
Assim, pela indução matemática, se a igualdade vale para
e se ela sendo verdadeira para
implica que ela também é verdadeira para
, então ela é verdadeira para todo número natural
.