Fobos, um satélite de Marte, se move em uma órbita aproximadamente circular com
m de raio e um período de 7 h 39 min . Calcule a massa de Marte a partir dessas informações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Raio aproximado da órbita de Fobos:
. - Período orbital:
.
O que a questão pede:
- Calcular a massa de Marte usando esses dados.
Passo 2
Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Um satélite em órbita circular está em movimento acelerado; a aceleração centrípeta necessária para mantê‑lo na órbita é fornecida pela força gravitacional entre Marte e o satélite.
- Força gravitacional entre planeta (massa
) e satélite (massa ):
onde
é a constante gravitacional universal,
é a massa de Marte,
é a massa do satélite e
é o raio da órbita.
- Força centrípeta (necessária para o movimento circular) sobre o satélite:
onde
é a velocidade orbital do satélite.
- Igualando as duas forças (pois a gravidade fornece a centrípeta) e cancelando
:
- A velocidade orbital pode ser escrita em função do período
por . Substituindo e resolvendo para obtemos a fórmula prática:
Aqui:
-
é a massa do planeta (o que queremos), -
é o raio da órbita (dado), -
é o período orbital (dado), -
é a constante gravitacional ( ).
Passo 3
Converter o período para segundos (porque
está em unidades SI):
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular as quantidades intermediárias necessárias:
- Primeiro
:
- Constante
:
- Numerador
:
- Quadrado do período:
- Denominador
:
Passo 5
Calcular a massa de Marte usando a fórmula: