Fobos, um satélite de Marte, se move em uma órbita aproximadamente circular com 9,4 \times 10^{6} m de raio e um período de 7 h 39 min . Calcule a massa de Marte a partir dessas informações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Raio aproximado da órbita de Fobos: r = 9,4\times10^{6}\\ \text{m}.
  • Período orbital: T = 7\\ \text{h}\\\ 39\\ \text{min}.
O que a questão pede:
  • Calcular a massa de Marte usando esses dados.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Um satélite em órbita circular está em movimento acelerado; a aceleração centrípeta necessária para mantê‑lo na órbita é fornecida pela força gravitacional entre Marte e o satélite.
  • Força gravitacional entre planeta (massa M) e satélite (massa m):
F_{\text{grav}}=\frac{G M m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional universal, M é a massa de Marte, m é a massa do satélite e r é o raio da órbita.
  • Força centrípeta (necessária para o movimento circular) sobre o satélite:
F_{\text{cent}}=\frac{m v^{2}}{r},
onde v é a velocidade orbital do satélite.
  • Igualando as duas forças (pois a gravidade fornece a centrípeta) e cancelando m:
\frac{G M}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.
  • A velocidade orbital pode ser escrita em função do período T por v=\dfrac{2\pi r}{T}. Substituindo e resolvendo para M obtemos a fórmula prática:
M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}.
Aqui:
  • M é a massa do planeta (o que queremos),
  • r é o raio da órbita (dado),
  • T é o período orbital (dado),
  • G é a constante gravitacional ( G\approx6,67430\times10^{-11}\\ \text{m}^{3}\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}).

Passo 3

Converter o período para segundos (porque G está em unidades SI):
  • T = 7\\ \text{h}\\\ 39\\ \text{min}.
  • 7\\ \text{h}=7\times3600=25200\\ \text{s}.
  • 39\\ \text{min}=39\times60=2340\\ \text{s}.
    Portanto
T = 25200+2340=27540\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular as quantidades intermediárias necessárias:
  • Primeiro r^{3}:
r^{3}=(9,4\times10^{6}\\ \text{m})^{3}=9,4^{3}\times10^{18}\\ \text{m}^{3}=830,584\times10^{18}\\ \text{m}^{3}=8,30584\times10^{20}\\ \text{m}^{3}.
  • Constante 4\pi^{2}:
4\pi^{2}\approx39,4784176.
  • Numerador 4\pi^{2}r^{3}:
4\pi^{2}r^{3}\approx39,4784176\times8,30584\times10^{20}\approx3,279012\times10^{22}.
  • Quadrado do período:
T^{2}=(27540\\ \text{s})^{2}=758\,451\,600\\ \text{s}^{2}=7,584516\times10^{8}\\ \text{s}^{2}.
  • Denominador G T^{2}:
G T^{2}\approx(6,67430\times10^{-11})\times(7,584516\times10^{8})\approx5,06202\times10^{-2}.

Passo 5

Calcular a massa de Marte usando a fórmula:
M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}=\frac{3,279012\times10^{22}}{5,06202\times10^{-2}}\approx6,48\times10^{23}\\ \text{kg}.

Resposta

6,48\times10^{23}\\ \text{kg}

Exercícios relacionados