Nos focos da elipse que contorna a praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos F_{1}=(8,-35) e F_{2}=(8,35). Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto A=(8,90). Nesse contexto, a equação dessa elipse é:
A) \frac{(x-8)^{2}}{35^{2}}+\frac{y^{2}}{90^{2}}=1
B) \frac{(x-8)^{2}}{35^{2}}-\frac{y^{2}}{90^{2}}=1
C) \frac{(x-8)^{2}}{90^{2}}+\frac{(y+35)^{2}}{\left(90^{2}-35^{2}\right)}=1
D) \frac{x^{2}}{35^{2}}+\frac{y^{2}}{90^{2}}=1
E) \frac{(x-8)^{2}}{\left(90^{2}-35^{2}\right)}+\frac{y^{2}}{90^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá os focos da elipse em F_{1}=(8,-35) e F_{2}=(8,35) e um ponto A=(8,90) que pertence à elipse. O tópico é elipse definido pela soma das distâncias aos focos constante 2a. Para resolver precisamos:
  • Encontrar o centro e o valor de c (distância do centro a cada foco).
  • Usar o ponto A para achar a.
  • Calcular b via b^{2}=a^{2}-c^{2}.
  • Escrever a equação na forma padrão.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio de F_{1} e F_{2}:
\bigl(\tfrac{8+8}{2},\,\tfrac{-35+35}{2}\bigr)=(8,0).
Como ambos têm abscissa 8, o eixo maior é vertical. A distância do centro a cada foco é
c = |35-0| = 35.

Passo 3

Pela definição de elipse, a soma das distâncias de A a F_{1} e F_{2} é 2a. Calculamos:
d_{1} = \sqrt{(8-8)^{2} + (90 - (-35))^{2}} = 125,
d_{2} = \sqrt{(8-8)^{2} + (90 - 35)^{2}} = 55,
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2a = d_{1} + d_{2} = 125 + 55 = 180 \quad\Longrightarrow\quad a = 90.

Passo 4

Usando b^{2}=a^{2}-c^{2}, temos
b^{2} = 90^{2} - 35^{2}.

Passo 5

Como o eixo maior é vertical, a forma centralizada é
\frac{(x-8)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-0)^{2}}{a^{2}} = 1.
Substituindo a e b:
\frac{(x-8)^{2}}{90^{2}-35^{2}} + \frac{y^{2}}{90^{2}} = 1,
que corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E)

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