[3] (2,5 pontos)Sejam que E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right), F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) e G=\left(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \vec{g}_{3}\right) bases, sendo E a única ortonormal. Sabendo que \overrightarrow{f_{1}}=2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3}=\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}, \vec{g}_{1}=\vec{f}_{2}, \vec{g}_{2}=\vec{e}_{2} \mathrm{e}\vec{g}_{3}=2 \vec{e}_{2}-2 \vec{f}_{3}. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}, com \vec{u}=(1,2,3)_{F} e \vec{v}=(1,2,3)_{G}.
Passo 1
O enunciado dá três bases em \mathbb{R}^3: E=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3) é ortonormal (a base padrão), F=(\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3) e G=(\vec g_1,\vec g_2,\vec g_3) são quaisquer, com
Precisamos calcular \displaystyle \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v, onde \vec u=(1,2,3)_F e \vec v=(1,2,3)_G.
Conteúdo: mudança de base usando coordenadas em F e G, e fórmula da projeção em base ortonormal:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\frac{\langle \vec u,\vec v\rangle}{\|\vec u\|^2}\,\vec u.
Passo 2
Converter \vec u=(1,2,3)_F para a base ortonormal E:
\vec u =1\cdot\vec f_1 + 2\cdot\vec f_2 + 3\cdot\vec f_3.
Substituindo em termos de \vec e_i:
\vec u =1\,(2,-1,0) + 2\,(1,-1,2) + 3\,(1,0,2) =(2,-1,0)+(2,-2,4)+(3,0,6) =(7,-3,10).
Passo 3
Converter \vec v=(1,2,3)_G para a base E. Primeiro expressar \vec g_j em E: