[3] (2,5 pontos)Sejam que E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right), F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) e G=\left(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \vec{g}_{3}\right) bases, sendo E a única ortonormal. Sabendo que \overrightarrow{f_{1}}=2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3}=\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}, \vec{g}_{1}=\vec{f}_{2}, \vec{g}_{2}=\vec{e}_{2} \mathrm{e} \vec{g}_{3}=2 \vec{e}_{2}-2 \vec{f}_{3}. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}, com \vec{u}=(1,2,3)_{F} e \vec{v}=(1,2,3)_{G}.

Passo 1

O enunciado dá três bases em \mathbb{R}^3: E=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3) é ortonormal (a base padrão), F=(\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3) e G=(\vec g_1,\vec g_2,\vec g_3) são quaisquer, com
\begin{aligned} \vec f_1 &= 2\vec e_1 - \vec e_2,\\\ \vec f_2 &= \vec e_1 - \vec e_2 + 2\vec e_3,\\\ \vec f_3 &= \vec e_1 + 2\vec e_3, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \vec g_1 &= \vec f_2,\\\ \vec g_2 &= \vec e_2,\\\ \vec g_3 &= 2\vec e_2 - 2\,\vec f_3. \end{aligned}
Precisamos calcular \displaystyle \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v, onde \vec u=(1,2,3)_F e \vec v=(1,2,3)_G.
Conteúdo: mudança de base usando coordenadas em F e G, e fórmula da projeção em base ortonormal:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\frac{\langle \vec u,\vec v\rangle}{\|\vec u\|^2}\,\vec u.

Passo 2

Converter \vec u=(1,2,3)_F para a base ortonormal E:
\vec u =1\cdot\vec f_1 + 2\cdot\vec f_2 + 3\cdot\vec f_3.
Substituindo em termos de \vec e_i:
\vec u =1\,(2,-1,0) + 2\,(1,-1,2) + 3\,(1,0,2) =(2,-1,0)+(2,-2,4)+(3,0,6) =(7,-3,10).

Passo 3

Converter \vec v=(1,2,3)_G para a base E. Primeiro expressar \vec g_j em E:
\vec g_1=\vec f_2=(1,-1,2),\quad \vec g_2=\vec e_2=(0,1,0),\quad \vec g_3=2\vec e_2-2\vec f_3 =2\,(0,1,0)-2\,(1,0,2)=(-2,2,-4).
Então
\vec v =1\cdot\vec g_1+2\cdot\vec g_2+3\cdot\vec g_3 =(1,-1,2)+2\,(0,1,0)+3\,(-2,2,-4) =(-5,7,-10).

Passo 4

Como E é ortonormal, o produto interno e norma são os produtos e somas de componentes:
\langle \vec u,\vec v\rangle =7\cdot(-5)+(-3)\cdot7+10\cdot(-10) =-35-21-100=-156,
\|\vec u\|^2 =7^2+(-3)^2+10^2=49+9+100=158.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\frac{\langle \vec u,\vec v\rangle}{\|\vec u\|^2}\,\vec u =\frac{-156}{158}\,(7,-3,10) =-\frac{78}{79}\,(7,-3,10).
Multiplicando coordenada a coordenada:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\Bigl(-\tfrac{546}{79},\,\tfrac{234}{79},\,-\tfrac{780}{79}\Bigr).

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\Bigl(-\frac{546}{79},\,\frac{234}{79},\,-\frac{780}{79}\Bigr).

Exercícios relacionados