Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
\left\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\right\} com o produto interno definido a seguir
\left\langle\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} e & f \\\ g & h \end{array}\right)\right\rangle=a \cdot e+b \cdot f+c \cdot g+d \cdot h

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de matrizes
M_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
é ortogonal no espaço de matrizes 2\times2 com produto interno definido por
\Big\langle \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}e & f \\[4pt] g & h\end{pmatrix}\Big\rangle = a\,e + b\,f + c\,g + d\,h.
Lembrando que um conjunto é ortogonal se e somente se para quaisquer i\neq j tivermos \langle M_i, M_j\rangle=0.]

Passo 2

Para \langle M_1, M_2\rangle usamos
M_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}
e
\langle M_1, M_2\rangle = 1\cdot(-1) + 0\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = -1 \neq 0.]

Passo 3

Para \langle M_1, M_3\rangle usamos
M_3 = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e
\langle M_1, M_3\rangle = 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot1 + (-1)\cdot0 = 0.]

Passo 4

Para \langle M_2, M_3\rangle calculamos
\langle M_2, M_3\rangle = (-1)\cdot0 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 + 0\cdot0 = -1 -1 = -2 \neq 0.

Passo 5

Como já encontramos pares com produto interno não nulo \langle M_1,M_2\rangle=-1 e \langle M_2,M_3\rangle=-2, o conjunto não satisfaz a condição de ortogonalidade.

Resposta

O conjunto não é ortogonal.

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