Seja T(x, y, z)=(x+y+z,+x+2 y-4 z, z).
(a) Calcule a matriz que representa T na base canônica.
(b) Mostre que T é bijetiva e calcule T^{-1}(x, y).
(c) Resolva a equação linear T(x, y, z)=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(\,x+y+z,\;x+2y-4z,\;z\,).
Precisamos (a) encontrar sua matriz na base canônica, (b) mostrar que ela é bijetiva e achar T^{-1}, e (c) resolver T(x,y,z)=(1,1,2).

Passo 2

Para obter a matriz de T em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculamos T(e_1), T(e_2) e T(e_3):
T(1,0,0)=(1,1,0),\quad T(0,1,0)=(1,2,0),\quad T(0,0,1)=(1,-4,1).
Colocando esses vetores como colunas, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para mostrar que T é bijetiva basta ver que \det A\neq0.
Calculamos
\det A =\Bigl|\begin{matrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\Bigr| =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -4\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =1\cdot2-1\cdot1+0=1\neq0.
Logo T é invertível.

Passo 4

Para achar T^{-1}\), escrevemos \[T(x,y,z)=(u,v,w) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+y+z=u,\\\ x+2y-4z=v,\\\ z=w. \end{cases}
Da última equação vem z=w\]. Então as duas primeiras ficam \[x+y=u-w, \quad x+2y=v+4w.\] Subtraindo a primeira da segunda dá \[y=(v+4w)-(u-w)=v-u+5w\] e \[x=(u-w)-y=2u-v-6w.\] Portanto, renomeando \((u,v,w)\to(x,y,z),
T^{-1}(x,y,z)=\bigl(2x-y-6z,\;-x+y+5z,\;z\bigr).

Passo 5

Para resolver T(x,y,z)=(1,1,2), tomamos (u,v,w)=(1,1,2) na fórmula anterior:
z=w=2,\quad y=v-u+5w=1-1+5\cdot2=10,\quad x=2u-v-6w=2\cdot1-1-6\cdot2=-11.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) T é bijetiva e
T^{-1}(x,y,z)=\bigl(2x-y-6z,\;-x+y+5z,\;z\bigr).
(c) (x,y,z)=(-11,10,2).

Exercícios relacionados