Q2: Um foguete de 200 kg no se move no espaço sideral com uma velocidade de ( 121 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \overrightarrow{\mathrm{i}}+ (38 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{\jmath}. De repente, ele explode em três pedaços, com o primeiro ( 78 kg ) movendo-se a ( -321 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{\imath}+(228 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{\jmath} e o segundo ( 56 kg ) movendo-se a ( 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{\imath}-(88 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{\jmath}. Encontre a velocidade da terceira peça.

Passo 1

O enunciado dá um foguete de massa m_0=200\\ \mathrm{kg} com velocidade inicial
\vec v_0 = 121\,\vec \imath + 38\,\vec \jmath
que explode em três pedaços sem forças externas atuando. Aqui usamos a conservação do momento linear, que diz:
m_0\,\vec v_0 \;=\; m_1\,\vec v_1 + m_2\,\vec v_2 + m_3\,\vec v_3.

Passo 2

Calculamos a massa do terceiro pedaço e os momentos dos dois primeiros pedaços e do foguete inteiro:
A massa do terceiro pedaço é
m_3 = m_0 - (m_1 + m_2) = 200 - (78 + 56) = 66\\ \mathrm{kg}.
O momento inicial é
\vec p_0 = m_0\,\vec v_0 = 200\,(121\,\vec \imath + 38\,\vec \jmath) = 24200\,\vec \imath + 7600\,\vec \jmath.
Os momentos dos pedaços 1 e 2 são
\vec p_1 = 78\,(-321\,\vec \imath + 228\,\vec \jmath) = -25038\,\vec \imath + 17784\,\vec \jmath,
\vec p_2 = 56\,(16\,\vec \imath - 88\,\vec \jmath) = 896\,\vec \imath - 4928\,\vec \jmath.

Passo 3

Pela conservação do momento, o momento do pedaço 3 é
\vec p_3 = \vec p_0 - (\vec p_1 + \vec p_2) = (24200\,\vec \imath + 7600\,\vec \jmath) - \bigl((-25038+896)\,\vec \imath + (17784 - 4928)\,\vec \jmath\bigr).
Calculando os somatórios internos:
\vec p_1 + \vec p_2 = (-24142)\,\vec \imath + 12856\,\vec \jmath,
\vec p_3 = (24200 - (-24142))\,\vec \imath + (7600 - 12856)\,\vec \jmath = 48342\,\vec \imath - 5256\,\vec \jmath.
Então a velocidade \vec v_3 vem de \vec v_3 = \vec p_3 / m_3:
\vec v_3 = \frac{48342}{66}\,\vec \imath - \frac{5256}{66}\,\vec \jmath = \frac{8057}{11}\,\vec \imath - \frac{876}{11}\,\vec \jmath\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle \vec v_3 = \frac{8057}{11}\,\vec \imath \;-\;\frac{876}{11}\,\vec \jmath\approx 732{,}45\,\vec \imath-79{,}64\,\vec \jmath\\ \mathrm{m/s}.

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