Um foguete se afasta da Terra com velocidade u. Um sinal luminoso enviado da Terra possui um comprimento de onda correspondente ao comprimento de onda médio da luz amarela ( lambda=575 nm ). Este sinal é detectado por um astronauta no interior do foguete. Determine, em função da velocidade da luz, o valor de u para que a cor do sinal enviado da Terra possua cor vermelha ( lambda=675 nm ) para o astronauta.

Passo 1

O enunciado diz que um foguete se afasta da Terra com velocidade u. A Terra emite luz de cor amarela com comprimento de onda lambda = 575 nm, mas o astronauta registra essa luz com comprimento de onda lambda' = 675 nm (vermelha). Vamos usar o efeito Doppler relativístico para ondas eletromagnéticas, que relaciona lambda', lambda e beta = u/c.

Passo 2

Para recuo (fonte e receptor se afastam), a fórmula do desvio Doppler relativístico em termos de comprimento de onda é
lambda'lambda = raiz1 + beta1 - beta
onde beta = u/c.

Passo 3

Elevando ao quadrado e isolando beta, obtemos
(lambda'lambda)^2 = 1 + beta1 - beta,
l(tfraclambda'lambdar)^2,(1 - beta) = 1 + beta,
(tfraclambda'lambda)^2 - (tfraclambda'lambda)^2beta = 1 + beta,
(tfraclambda'lambda)^2 - 1 = betal((tfraclambda'lambda)^2 + 1r),
beta = (lambda'/lambda)^2 - 1(lambda'/lambda)^2 + 1

Passo 4

Agora, substituímos lambda' = 675 nm e lambda = 575 nm:
lambda'lambda = 675575 = 2723 Longrightarrow l(tfraclambda'lambdar)^2 = 27^223^2 = 729529 approx 1,3775
Logo,
beta = 1,3775 - 11,3775 + 1 = 0,37752,3775 approx 0,1588
Portanto,
u = beta,c approx 0,1588,c approx 0,16,c

Resposta

u approx 0,16,c

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