Um foguete se afasta da Terra com velocidade u. Um sinal luminoso enviado da Terra possui um comprimento de onda lambda. Este sinal é detectado por um astronauta no interior do foguete. Determine, em função da velocidade da luz, o valor exato de u para que o comprimento de onda do sinal detectado pelo astronauta seja igual a 2 lambda.

Passo 1

O enunciado descreve um foguete que se afasta da Terra com velocidade u. Um sinal luminoso emitido da Terra tem comprimento de onda lambda e, devido ao efeito Doppler relativístico para recuo, o astronauta mede um comprimento de onda lambda' = 2lambda. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico para radiação eletromagnética.

Passo 2

Para fonte e observador se afastando, a relação entre comprimento de onda emitido lambda e observado lambda' é
lambda' ;=;lambda,raiz1+beta1-beta
onde definimos beta = uc. Essa fórmula resulta da combinação de dilatação do tempo e transformação de frequência na relatividade.

Passo 3

Impondo lambda' = 2lambda, temos
2 ;=;raiz1+beta1-beta Longrightarrow 4 ;=;1+beta1-beta
Multiplicando em cruz e isolando beta:
1+beta = 4,(1-beta) Longrightarrow 1 + beta = 4 - 4beta Longrightarrow 5,beta = 3 Longrightarrow beta = 35

Passo 4

Voltando à velocidade, u = beta,c, logo
u = 35,c

Resposta

u = dfrac35,c

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