Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura ( h ), em relação ao solo, é dada em função do tempo (t) pela função h=10+120 t-5 t^{2}. Sabendo que a altura é medida em metros e o tempo medido em segundos, responda:
a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?

Passo 1

O enunciado dá a altura do foguete em função do tempo pela função
h(t)=10+120\,t-5\,t^{2},
onde a altura h está em metros e o tempo t em segundos. As perguntas são:
(a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
(b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
h(t)=10+120\,t-5\,t^{2}.
Nada mais é fornecido; todas as quantidades necessárias estão na fórmula acima.

Passo 2

Vamos entender qual tipo de função é essa e por que ela tem uma altura máxima. A função h(t) é um polinômio de grau 2 (uma parábola). Escrevendo-a na forma padrão de uma quadrática:
h(t) = a\,t^{2} + b\,t + c
onde, neste problema,
a=-5,\qquad b=120,\qquad c=10.
Quando a<0 (como aqui, a=-5), a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo) e, portanto, tem um valor máximo em seu vértice. O vértice da parábola dá o tempo em que a altura é máxima e o valor da função nesse vértice é a altura máxima.
Existem duas maneiras simples de achar o vértice que vou explicar (escolha a que preferir na prova): (i) usar a fórmula do vértice para tempo t_{\text{vértice}} = -\dfrac{b}{2a}é; (ii) completar o quadrado. Vou usar a fórmula porque é direta, e depois mostro a completar o quadrado para reforçar a intuição.
Breve justificativa da fórmula t_{\text{vértice}}=-\dfrac{b}{2a}é: para h(t)=a t^{2}+b t+c podemos reescrever completando o quadrado como
h(t)=a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c,
o que mostra que a expressão quadrática tem seu extremo em t=-\dfrac{b}{2a}. Quando a<0, esse extremo é o máximo.

Passo 3

Calcular o tempo em que ocorre a altura máxima usando a fórmula do vértice:
t_{\text{máx}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2\cdot(-5)}.á
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot(-5) = -10,
-\frac{120}{-10} = 12.
Portanto o tempo necessário para atingir a altura máxima é t_{\text{máx}}=12á segundos.

Passo 4

Agora vamos calcular a altura máxima substituindo t=12 em h(t):
h(12)=10+120\cdot 12 -5\cdot 12^{2}.
Calculemos cada termo:
120\cdot 12 = 1440,
12^{2}=144,\qquad -5\cdot 144 = -720.
Somando:
h(12)=10 + 1440 - 720 = 730.
Portanto a altura máxima é 730 metros.

Passo 5

Para reforçar a intuição, mostro aqui a conclusão pela técnica de completar o quadrado (alternativa): partir de
h(t)=-5\,t^{2}+120\,t+10
fatoramos -5:
h(t)=-5\bigl(t^{2}-24\,t\bigr)+10.
Completa-se o quadrado dentro do parêntese: t^{2}-24t=(t-12)^{2}-144. Substituindo,
h(t)=-5\bigl((t-12)^{2}-144\bigr)+10=-5(t-12)^{2}+720+10=-5(t-12)^{2}+730.
Daí fica óbvio que o máximo ocorre quando (t-12)^{2}=0, ou seja t=12, e o valor máximo é 730. Isso confirma os resultados anteriores e dá uma visão geométrica: a parábola vale 730 no vértice e decai quando t se afasta de 12.

Resposta

(a) 730\\ \text{m}
(b) 12\\ \text{s}

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