Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura (
), em relação ao solo, é dada em função do tempo
pela função
. Sabendo que a altura é medida em metros e o tempo medido em segundos, responda:
a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?
a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?
Passo 1
O enunciado dá a altura do foguete em função do tempo pela função
onde a altura
está em metros e o tempo
em segundos. As perguntas são:
(a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
(b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?
(a) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
(b) Qual o tempo necessário para que o foguete atinja sua altura máxima?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Nada mais é fornecido; todas as quantidades necessárias estão na fórmula acima.
Passo 2
Vamos entender qual tipo de função é essa e por que ela tem uma altura máxima. A função
é um polinômio de grau
(uma parábola). Escrevendo-a na forma padrão de uma quadrática:
onde, neste problema,
Quando
(como aqui,
), a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo) e, portanto, tem um valor máximo em seu vértice. O vértice da parábola dá o tempo em que a altura é máxima e o valor da função nesse vértice é a altura máxima.
Existem duas maneiras simples de achar o vértice que vou explicar (escolha a que preferir na prova): (i) usar a fórmula do vértice para tempo
; (ii) completar o quadrado. Vou usar a fórmula porque é direta, e depois mostro a completar o quadrado para reforçar a intuição.
Breve justificativa da fórmula
: para
podemos reescrever completando o quadrado como
o que mostra que a expressão quadrática tem seu extremo em
. Quando
, esse extremo é o máximo.
Passo 3
Calcular o tempo em que ocorre a altura máxima usando a fórmula do vértice:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto o tempo necessário para atingir a altura máxima é
segundos.
Passo 4
Agora vamos calcular a altura máxima substituindo
em
:
Calculemos cada termo:
Somando:
Portanto a altura máxima é
metros.
Passo 5
Para reforçar a intuição, mostro aqui a conclusão pela técnica de completar o quadrado (alternativa): partir de
fatoramos
:
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo,
Daí fica óbvio que o máximo ocorre quando
, ou seja
, e o valor máximo é
. Isso confirma os resultados anteriores e dá uma visão geométrica: a parábola vale
no vértice e decai quando
se afasta de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)