Qual a solução da inequação -x^{2}+5 x-6 \geq 0 ?
a) S=\{x \in R / x \geq 3\}
b) S=\{x \in R / x \leq 2 ou x \geq 3\}
c) S=\{x \in R / 2<x<3\}
d) S=\{x \in R / 2 \leq x \leq 3\}
e) S=\{x \in R /-2 \leq x \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação -x^{2}+5x-6 \geq 0 e identificar a solução correta entre as alternativas dadas. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é um polinômio quadrático em x.
  • A desigualdade é do tipo “maior ou igual” ( \geq), ou seja, pontos onde a expressão vale zero também pertencem à solução.
  • O domínio é \mathbb{R} (todos os números reais).
    A tarefa é encontrar o conjunto de x que satisfazem a inequação.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para facilitar a resolução. Primeiro fatoramos um sinal negativo comum:
- x^{2}+5x-6 = -\bigl(x^{2}-5x+6\bigr).
Explicando a fatoração: para eliminar o sinal negativo, coloquei -1 em evidência. Dentro do parêntese ficou o polinômio x^{2}-5x+6.

Passo 3

Agora fatoramos o quadrático dentro do parêntese. Procuramos dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3, portanto
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Substituindo na expressão original temos
- x^{2}+5x-6 = - (x-2)(x-3).

Passo 4

Transformamos a inequação usando a fatoração:
- (x-2)(x-3) \ge 0.
Multiplicar ambos os lados por -1 inverte o sinal da desigualdade, então obtemos
(x-2)(x-3) \le 0.
Explicação do passo: multiplicar por -1 troca \ge por \le. Agora temos uma inequação do produto de dois fatores linearmente dependentes.

Passo 5

Fazemos análise de sinais dos fatores para resolver (x-2)(x-3)\le 0.
  • As raízes (zeros) dos fatores são x=2 e x=3.
  • Dividimos a reta real em três intervalos: (-\infty,2), (2,3) e (3,\infty).
    Vamos verificar o sinal do produto em cada intervalo com pontos de teste:
  • Para x=0 (no intervalo (-\infty,2)): (0-2)(0-3)=(-2)(-3)=+6>0.
  • Para x=2{,}5 (no intervalo (2,3)): (2{,}5-2)(2{,}5-3)=(+0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25<0.
  • Para x=4 (no intervalo (3,\infty)): (4-2)(4-3)=(+2)(+1)=+2>0.
    Como queremos \le 0, aceitamos os pontos onde o produto é negativo ou zero. O produto é negativo em (2,3) e é zero exatamente em x=2 e x=3. Portanto a solução em termos de intervalos é o intervalo fechado entre 2 e 3.

Passo 6

Verificação final rápida nos extremos:
\text{Para } x=2:\quad -2^{2}+5\cdot2-6 = -4+10-6=0.
\text{Para } x=3:\quad -3^{2}+5\cdot3-6 = -9+15-6=0.
Ambos satisfazem a condição \ge 0, então os extremos pertencem à solução.

Resposta

(d) S=\{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x\le 3\}

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