Qual a solução da inequação
?
a)
b)
ou
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e identificar a solução correta entre as alternativas dadas. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é um polinômio quadrático em
. - A desigualdade é do tipo “maior ou igual” (
), ou seja, pontos onde a expressão vale zero também pertencem à solução. - O domínio é
(todos os números reais).
A tarefa é encontrar o conjunto deque satisfazem a inequação.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão para facilitar a resolução. Primeiro fatoramos um sinal negativo comum:
Explicando a fatoração: para eliminar o sinal negativo, coloquei
em evidência. Dentro do parêntese ficou o polinômio
.
Passo 3
Agora fatoramos o quadrático dentro do parêntese. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
, portanto
Substituindo na expressão original temos
Passo 4
Transformamos a inequação usando a fatoração:
Multiplicar ambos os lados por
inverte o sinal da desigualdade, então obtemos
Explicação do passo: multiplicar por
troca
por
. Agora temos uma inequação do produto de dois fatores linearmente dependentes.
Passo 5
Fazemos análise de sinais dos fatores para resolver
.
- As raízes (zeros) dos fatores são
e . - Dividimos a reta real em três intervalos:
, e .
Vamos verificar o sinal do produto em cada intervalo com pontos de teste: - Para
(no intervalo ): . - Para
(no intervalo ): . - Para
(no intervalo ): .
Como queremos, aceitamos os pontos onde o produto é negativo ou zero. O produto é negativo em e é zero exatamente em e . Portanto a solução em termos de intervalos é o intervalo fechado entre e .
Passo 6
Verificação final rápida nos extremos:
Ambos satisfazem a condição
, então os extremos pertencem à solução.
Resposta
(d)