1. Uma indústria de refrigerantes tem sua produção diária P, em garrafas, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n)=n^{2}+50 n+20.000. Calcule:
    a) a produção se o número de operadores for 40 .
    b) o número de operadores necessário para produzir 25.459 garrafas de refrigerantes.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção diária em número de garrafas em função do número de operadores n:
P(n)=n^{2}+50n+20.000.
Perguntas:
a) Calcular a produção quando o número de operadores for n=40.
b) Encontrar o número de operadores n necessário para que a produção seja P=25.459 garrafas.
Dado(s) importante(s) extraído(s) do enunciado:
\text{Fórmula: }P(n)=n^{2}+50n+20.000.ó
\text{Valor pedido em (a): }n=40.
\text{Valor pedido em (b): }P(n)=25.459.

Passo 2

Primeiro lembrete didático: a função dada é uma função quadrática em n. Isso significa que P(n) tem a forma geral
an^{2}+bn+c,
onde a, b e c são constantes. Aqui a=1, b=50 e c=20.000. Para obter a produção para um valor específico de n (parte a) basta substituir esse n na expressão e calcular. Para descobrir n a partir de um valor de P (parte b) precisamos resolver a equação quadrática obtida ao igualar P(n) ao valor pedido.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — substituição direta. Vou substituir n=40 em P(n):
P(40)=40^{2}+50\cdot 40+20.000.
Agora calculo cada termo passo a passo:
40^{2}=1.600,
50\cdot 40=2.000.
Somando:
P(40)=1.600+2.000+20.000=23.600.
Então, com 40 operadores a produção diária é 23.600 garrafas.

Passo 4

Preparando a parte (b). Queremos n tal que P(n)=25.459. Escrevo a equação:
n^{2}+50n+20.000=25.459.
Vou passar tudo para o lado esquerdo para obter uma equação quadrática padrão igual a zero:
n^{2}+50n+20.000-25.459=0.
n^{2}+50n-5.459=0.
Agora temos uma equação quadrática no formato padrão \,an^{2}+bn+c=0 com a=1, b=50 e c=-5.459.

Passo 5

Método para resolver a quadrática: fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou explicar: para an^{2}+bn+c=0, as raízes são dadas por
n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=50, c=-5.459. O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Se \Delta for positivo teremos duas raízes reais; se for zero, uma raiz real dupla; se negativo, raízes complexas (não aplicável fisicamente aqui).

Passo 6

Calculo do discriminante passo a passo:
\Delta=50^{2}-4\cdot 1\cdot(-5.459).
50^{2}=2.500.
-4\cdot 1\cdot(-5.459)=+21.836.
Somando:
\Delta=2.500+21.836=24.336.
Agora extraio a raiz quadrada de \Delta. Observação: 156^{2}=24.336, então \sqrt{\Delta}=156.

Passo 7

Aplicando a fórmula:
n=\frac{-50\pm 156}{2\cdot 1}=\frac{-50\pm 156}{2}.
Calculo das duas possibilidades:
n_{1}=\frac{-50+156}{2}=\frac{106}{2}=53,
n_{2}=\frac{-50-156}{2}=\frac{-206}{2}=-103.
Interpretação física: o número de operadores n não pode ser negativo, então descartamos n_{2}=-103. Além disso, como estamos contando pessoas, fazemos sentido em adotar n inteiro; aqui a solução positiva é exatamente um inteiro: n=53. Portanto são necessários 53 operadores para produzir 25.459 garrafas.

Resposta

(a) \,23.600 garrafas.
(b) \,53 operadores.

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