- Uma indústria de refrigerantes tem sua produção diária
, em garrafas, variando com o número de operadores em serviço
, de acordo com a função
. Calcule:
a) a produção se o número de operadores for 40 .
b) o número de operadores necessário para produzir 25.459 garrafas de refrigerantes.
a) a produção se o número de operadores for 40 .
b) o número de operadores necessário para produzir 25.459 garrafas de refrigerantes.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção diária em número de garrafas em função do número de operadores
:
Perguntas:
a) Calcular a produção quando o número de operadores for .
b) Encontrar o número de operadores necessário para que a produção seja
garrafas.
a) Calcular a produção quando o número de operadores for
b) Encontrar o número de operadores
Dado(s) importante(s) extraído(s) do enunciado:
Passo 2
Primeiro lembrete didático: a função dada é uma função quadrática em
. Isso significa que
tem a forma geral
onde
,
e
são constantes. Aqui
,
e
. Para obter a produção para um valor específico de
(parte a) basta substituir esse
na expressão e calcular. Para descobrir
a partir de um valor de
(parte b) precisamos resolver a equação quadrática obtida ao igualar
ao valor pedido.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) — substituição direta. Vou substituir
em
:
Agora calculo cada termo passo a passo:
Somando:
Então, com
operadores a produção diária é
garrafas.
Passo 4
Preparando a parte (b). Queremos
tal que
. Escrevo a equação:
Vou passar tudo para o lado esquerdo para obter uma equação quadrática padrão igual a zero:
Agora temos uma equação quadrática no formato padrão
com
,
e
.
Passo 5
Método para resolver a quadrática: fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou explicar: para
, as raízes são dadas por
Aqui
,
,
. O discriminante é
. Se
for positivo teremos duas raízes reais; se for zero, uma raiz real dupla; se negativo, raízes complexas (não aplicável fisicamente aqui).
Passo 6
Calculo do discriminante passo a passo:
Somando:
Agora extraio a raiz quadrada de
. Observação:
, então
.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Calculo das duas possibilidades:
Interpretação física: o número de operadores
não pode ser negativo, então descartamos
. Além disso, como estamos contando pessoas, fazemos sentido em adotar
inteiro; aqui a solução positiva é exatamente um inteiro:
. Portanto são necessários
operadores para produzir
garrafas.
Resposta
(a)
garrafas.
(b) operadores.
(b)