moles de um gás ideal, à temperatura
, se expandem livremente de
até
em um recipiente termicamente isolado. Calcule a variação de entropia deste processo.
Passo 1
O enunciado:
moles de um gás ideal, à temperatura
, se expandem livremente de
até
em um recipiente termicamente isolado. Pedem: calcular a variação de entropia desse processo.
Dados relevantes:
Passo 2
Entendendo a expansão livre: expansão livre significa que o gás expande-se para um volume maior sem exercer trabalho sobre o ambiente (por exemplo, expansão para o vácuo). Num processo em recipiente isolado não há troca de calor com as paredes. Vou usar a Primeira Lei da Termodinâmica para relacionar energia interna, calor e trabalho.
Primeira Lei (convenção física: trabalho
é o trabalho realizado pelo sistema):
onde
é a variação da energia interna,
o calor recebido pelo sistema e
o trabalho realizado pelo sistema.
Na expansão livre temos:
Logo
Passo 3
Relação entre energia interna e temperatura para gás ideal: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em notação:
Como
, conclui-se que a temperatura final é igual à inicial:
Portanto o processo é efetivamente isentrópico? Cuidado: o fato de
e
não implica
porque o processo é irreversível. Entropia é uma função de estado, então podemos calcular
integrando
ao longo de qualquer processo reversível que leve do estado inicial ao final.
Passo 4
Definição prática usada para calcular
: para uma mudança entre dois estados de equilíbrio, mesmo que o processo real seja irreversível, podemos escolher um caminho reversível entre esses estados e calcular
Vou escolher o caminho reversível mais simples que conecta os mesmos estados: uma expansão isotérmica reversível do gás ideal de
para
à temperatura
.
Passo 5
Na expansão isotérmica reversível do gás ideal temos
(porque
depende só de
e
é constante), então do balanço de energia para o processo reversível:
Pela equação de estado do gás ideal:
onde
é o número de moles do gás,
a constante dos gases ideais e
a temperatura absoluta. Assim
Substituindo em
:
Passo 6
Agora calculamos a variação de entropia pela integral:
O
cancela:
Integrando,
Passo 7
Substituindo os valores do problema: o número de moles é
, o volume inicial
e o volume final
. Portanto