30-n moles de um gás ideal, à temperatura T, se expandem livremente de V_{0} até r V_{0} em um recipiente termicamente isolado. Calcule a variação de entropia deste processo.

Passo 1

O enunciado: 30-n moles de um gás ideal, à temperatura T, se expandem livremente de V_{0} até rV_{0} em um recipiente termicamente isolado. Pedem: calcular a variação de entropia desse processo.
Dados relevantes:
\begin{aligned} &\text{número de moles do gás: }(30-n),\\\ &\text{temperatura inicial: }T,\\\ &\text{volume inicial: }V_i = V_{0},\\\ &\text{volume final: }V_f = rV_{0},\\\ &\text{recipiente termicamente isolado (sem troca de calor) e expansão livre.} \end{aligned}úáã

Passo 2

Entendendo a expansão livre: expansão livre significa que o gás expande-se para um volume maior sem exercer trabalho sobre o ambiente (por exemplo, expansão para o vácuo). Num processo em recipiente isolado não há troca de calor com as paredes. Vou usar a Primeira Lei da Termodinâmica para relacionar energia interna, calor e trabalho.
Primeira Lei (convenção física: trabalho W é o trabalho realizado pelo sistema):
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna, Q o calor recebido pelo sistema e W o trabalho realizado pelo sistema.
Na expansão livre temos:
Q=0\quad\text{(isolado)},\qquad W=0\quad\text{(expansão na vácuo, sem pressão externa que faça trabalho).}ãáãç
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\Delta U = 0.

Passo 3

Relação entre energia interna e temperatura para gás ideal: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em notação:
U = U(T).
Como \Delta U=0, conclui-se que a temperatura final é igual à inicial:
T_{\text{final}}=T_{\text{inicial}}=T.
Portanto o processo é efetivamente isentrópico? Cuidado: o fato de Q=0 e \Delta U=0 não implica \Delta S=0 porque o processo é irreversível. Entropia é uma função de estado, então podemos calcular \Delta S integrando dQ_{\text{rev}}/T ao longo de qualquer processo reversível que leve do estado inicial ao final.

Passo 4

Definição prática usada para calcular \Delta S: para uma mudança entre dois estados de equilíbrio, mesmo que o processo real seja irreversível, podemos escolher um caminho reversível entre esses estados e calcular
\Delta S=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Vou escolher o caminho reversível mais simples que conecta os mesmos estados: uma expansão isotérmica reversível do gás ideal de V_0 para rV_0 à temperatura T.

Passo 5

Na expansão isotérmica reversível do gás ideal temos dU=0 (porque U depende só de T e T é constante), então do balanço de energia para o processo reversível:
dQ_{\text{rev}} = \delta W_{\text{rev}} = p\,dV.
Pela equação de estado do gás ideal:
pV = nRT,
onde n é o número de moles do gás, R a constante dos gases ideais e T a temperatura absoluta. Assim
p = \frac{nRT}{V}.
Substituindo em dQ_{\text{rev}}:
dQ_{\text{rev}} = \frac{nRT}{V}\,dV.

Passo 6

Agora calculamos a variação de entropia pela integral:
\Delta S=\int_{V_i}^{V_f}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{T}\cdot\frac{nRT}{V}\,dV.
O T cancela:
\Delta S=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nR}{V}\,dV = nR\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}.
Integrando,
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 7

Substituindo os valores do problema: o número de moles é n_{\text{mol}}=30-n, o volume inicial V_i=V_{0} e o volume final V_f=rV_{0}. Portanto
\Delta S = (30-n)\,R\ln\!\left(\frac{rV_{0}}{V_{0}}\right)=(30-n)\,R\ln r.

Resposta

(30-n)R\ln r

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