29-100 g de gelo são aquecidas de -15^{\circ} C até evaporar completamente. Calcule a variação de entropia do sistema.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variação de entropia do sistema quando um certo massa de gelo é aquecido de -15^\circ C até evaporar completamente. Informações presentes no enunciado:
\text{temperatura inicial } T_i = -15^\circ C,
\text{gelo aquece, funde, aquece como líquido até }100^\circ C \text{ e depois evapora (completa vaporização).}íéçã
Há uma ambiguidade na massa escrita como “29-100 g”. Como não posso pedir esclarecimento, vou assumir a massa usual e simples para este tipo de problema: m=100\\ \mathrm{g}. Se você tiver outra massa, posso mostrar depois como adaptar os cálculos. Outros dados que vou usar (valores típicos à pressão de 1 atm):
c_{\text{ice}} = 2{,}09\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}},
c_{\text{water}} = 4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}},
L_f = 334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}\quad(\text{calor latente de fusão}),ã
L_v = 2256\\ \mathrm{J\,g^{-1}}\quad(\text{calor latente de vaporização a }100^\circ C).çã
Temperaturas em Kelvin (sempre usar K em integrais envolvendo \tfrac{dQ}{T}):
T_i = -15^\circ C = 258{,}15\\ \mathrm{K},
T_m = 0^\circ C = 273{,}15\\ \mathrm{K},
T_b = 100^\circ C = 373{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e estratégia geral (aula rapidinha): entropia é uma grandeza de estado e a variação de entropia para um processo reversível é
\Delta S=\int \frac{dQ_\text{rev}}{T}.
Para aquecimento de uma substância com capacidade térmica constante C (no intervalo considerado) temos
dQ=C\,dT \quad\Rightarrow\quad \Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{C\,dT}{T}=C\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Para uma mudança de fase reversível à temperatura constante T_{fase} com calor latente por unidade de massa L e massa m, o calor trocado é Q=mL e a variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q}{T_{fase}}=\frac{mL}{T_{fase}}.
No nosso problema o processo pode ser dividido em quatro etapas reversíveis (imaginando caminhos reversíveis correspondentes):
  1. aquecer gelo de T_i até T_m,
  2. fusão a T_m,
  3. aquecer água líquida de T_m até T_b,
  4. vaporização a T_b.
    A variação total de entropia será a soma das quatro contribuições:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4.

Passo 3

Cálculo de \Delta S_1: aquecer o gelo de -15^\circ C até 0^\circ C.
Usamos a fórmula de aquecimento com C=m c_{\text{ice}}:
\Delta S_1 = m c_{\text{ice}} \ln\!\left(\frac{T_m}{T_i}\right).
Substituindo m=100\\ \mathrm{g}, c_{\text{ice}}=2{,}09\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}, T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}, T_i=258{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_1 = 100\cdot 2{,}09 \cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{258{,}15}\right).
Calculando passo a passo:
100\cdot 2{,}09 = 209\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\frac{273{,}15}{258{,}15}\approx 1{,}058106\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}058106)\approx 0{,}05648,
\Delta S_1 \approx 209 \times 0{,}05648 \approx 11{,}81\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 4

Cálculo de \Delta S_2: fusão do gelo a 0^\circ C.
Fórmula para mudança de fase:
\Delta S_2 = \frac{m L_f}{T_m}.
Substituindo m=100\\ \mathrm{g}, L_f=334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}, T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = \frac{100\cdot 334}{273{,}15} = \frac{33400}{273{,}15}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Calculando:
\Delta S_2 \approx 122{,}30\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Cálculo de \Delta S_3: aquecer a água líquida de 0^\circ C até 100^\circ C.
Usamos a fórmula de aquecimento com c_{\text{water}}:
\Delta S_3 = m c_{\text{water}} \ln\!\left(\frac{T_b}{T_m}\right).
Substituindo m=100\\ \mathrm{g}, c_{\text{water}}=4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}, T_b=373{,}15\\ \mathrm{K}, T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}:
100\cdot 4{,}18 = 418\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\frac{373{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}366289\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}366289)\approx 0{,}31203,
\Delta S_3 \approx 418 \times 0{,}31203 \approx 130{,}42\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Cálculo de \Delta S_4: vaporização completa a 100^\circ C.
Fórmula:
\Delta S_4 = \frac{m L_v}{T_b}.
Substituindo m=100\\ \mathrm{g}, L_v=2256\\ \mathrm{J\,g^{-1}}, T_b=373{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_4 = \frac{100\cdot 2256}{373{,}15} = \frac{225600}{373{,}15}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Calculando:
\Delta S_4 \approx 604{,}53\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Somando todas as contribuições para obter a variação total de entropia do sistema:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4.
Substituindo os valores numéricos obtidos:
\Delta S_{\text{total}}\approx 11{,}81 + 122{,}30 + 130{,}42 + 604{,}53.
Fazendo a soma:
\Delta S_{\text{total}}\approx 869{,}06\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
\Delta S_{\text{total}}\approx 869{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Observação pedagógica: a variação de entropia do sistema é positiva, como esperado, porque você adicionou calor ao sistema e o processos incluíram vaporização (forte aumento de entropia).

Resposta

\Delta S \approx 869{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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