Um foguete com massa de 3.000 kg é lançado do solo com um ângulo de elevação de 60^{\circ}. O motor aplica ao foguete uma força de 6,0 \times 10^{\wedge} 4 \mathrm{~N} (empuxo) com um ângulo constante de 60^{\circ} com a horizontal, por 50 s , e depois desliga. Fazendo uma aproximação grosseira, ignore a massa do combustível consumido e da força de resistência do ar. Calcule (a) a altitude do foguete quando o motor para e (b) a distância horizontal do ponto de lançamento ao eventual ponto de impacto com o solo (supondo que estão no mesmo nível).

Passo 1

O enunciado dá um foguete de massa m=3000\:\mathrm{kg} lançado com empuxo constante \,F=6{,}0\times10^4\:\mathrm{N} formando ângulo \theta=60^\circ com a horizontal durante t=50\:\mathrm{s}. Vamos desprezar consumo de massa e resistência do ar e dividir o movimento em duas fases:
  1. aceleração constante sob o empuxo até t=50\:\mathrm{s},
  2. voo balístico com gravidade g=9{,}8\:\mathrm{m/s^2} a partir das velocidades e altura alcançadas no fim da fase 1.

Passo 2

Separamos o empuxo em componentes horizontal e vertical:
F_x = F\cos\theta = 6{,}0\times10^4\cdot\cos60^\circ = 3{,}0\times10^4\:\mathrm{N},
F_y = F\sin\theta = 6{,}0\times10^4\cdot\sin60^\circ = 6{,}0\times10^4\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx5{,}20\times10^4\:\mathrm{N}.
As acelerações são
a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{3{,}0\times10^4}{3000} = 10\:\mathrm{m/s^2},
a_y = \frac{F_y}{m} - g = \frac{5{,}20\times10^4}{3000} - 9{,}8 \approx 17{,}32 - 9{,}8 = 7{,}52\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Durante os 50\:\mathrm{s} de queima:
altura alcançada
y_1 = \tfrac12\,a_y\,t^2 = \tfrac12\cdot7{,}52\cdot(50)^2 =3{,}76\cdot2500 \approx 9{,}40\times10^3\:\mathrm{m},
deslocamento horizontal
x_1 = \tfrac12\,a_x\,t^2 = \tfrac12\cdot10\cdot(50)^2 =5\cdot2500 =1{,}25\times10^4\:\mathrm{m},
velocidades ao fim da fase 1
v_{x0} = a_x\,t = 10\cdot50 = 500\:\mathrm{m/s},\quad v_{y0} = a_y\,t = 7{,}52\cdot50 \approx 376\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Na fase 2 o foguete é um projétil lançado de (x_1,y_1) com (v_{x0},v_{y0}). A altura nula final satisfaz
-\,\tfrac12\,g\,t_2^2 + v_{y0}\,t_2 + y_1 = 0.
Isto é
4{,}9\,t_2^2 - 376\,t_2 - 9{,}40\times10^3 = 0.
A raiz positiva é
t_2 = \frac{376 + \sqrt{376^2 + 4\cdot4{,}9\cdot9{,}40\times10^3}}{2\cdot4{,}9} \approx \frac{376 + 570{,}7}{9{,}8}\approx 96{,}6\:\mathrm{s}.

Passo 5

O alcance adicional é
x_2 = v_{x0}\,t_2 = 500\cdot96{,}6 \approx 4{,}83\times10^4\:\mathrm{m}.
A distância total desde o lançamento até o impacto é
x_{\text{total}} = x_1 + x_2 \approx 1{,}25\times10^4 + 4{,}83\times10^4 =6{,}08\times10^4\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) 9{,}4\times10^3\:\mathrm{m}
(b) 6{,}1\times10^4\:\mathrm{m} (aproximadamente)

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