Um bloco de madeira pesa 15 kg e está em um plano horizontal, com o qual tem um coeficiente de atrito cinético
. Um projétil de 50 g o atinge com uma velocidade de
, em trajetória rente ao plano horizontal. Sabendo que a colisão é perfeitamente inelástica, calcule o deslocamento do sistema bloco + projétil.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de madeira de 15 kg em um plano horizontal com um atrito cinético de $ \mu_C = 0,2 $. Um projétil de 50 g (que é 0,05 kg) atinge o bloco com uma velocidade de 700 m/s de forma bem rente ao chão. A colisão é perfeitamente inelástica, ou seja, o projétil e o bloco ficam grudados após o impacto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o deslocamento desse sistema bloco + projétil depois da colisão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum (quantidade de movimento) e força de atrito, além da conservação do momentum e da energia de trabalho realizada pelo atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento (momentum) do projétil antes da colisão. A quantidade de movimento é dada pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa
- $ v $ é a velocidade
Aqui, o bloco está inicialmente parado, então a quantidade de movimento do bloco é zero. Então, a quantidade de movimento total antes da colisão é apenas a do projétil.
Calculando:
Passo 3
Como a colisão é perfeitamente inelástica, o projétil e o bloco ficam juntos após o impacto. Vamos calcular a massa total após a colisão:
Passo 4
Agora, usando a conservação do momentum, sabemos que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total após a colisão. Então:
Resolvendo para $ v_{final} $:
Passo 5
Com a velocidade final $ v_{final} $ calculada, vamos agora determinar até onde o sistema vai se mover antes de parar, ou seja, o deslocamento $ s $. Para isso, vamos usar a energia de trabalho realizada pela força de atrito, que vai parar o movimento do sistema.
A fórmula da energia de trabalho pela força de atrito é:
E a energia cinética inicial do sistema após a colisão é:
Como toda essa energia será dissipada pelo atrito até o sistema parar, temos:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a força de atrito $ F_{atrito} $. A força de atrito cinético é dada por:
Onde $ N $ é a força normal. Em um plano horizontal, a força normal é igual ao peso do sistema:
Assumindo $ g = 9,8,m/s^2 $:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial após a colisão:
Passo 8
Igualando a energia cinética ao trabalho realizado pelo atrito:
Resolvendo para $ s $:
Resposta
O deslocamento do sistema bloco + projétil é de aproximadamente 1,38 metros.