Um foguete na posição A decola do repouso e se move verticalmente até B quando seu combustível acaba aos 8,00 s. Durante esse tempo sua aceleração varia com a=5,00 t m / s^2. Ao atingir o ponto B, o foguete inclina em um ângulo de 45^circ com a vertical e inicia um movimento de queda livre.
Calcule a altura máxima hc da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com cinemática, que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. Precisamos calcular a altura máxima que o foguete atinge após decolar. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração varia com o tempo e usar algumas fórmulas de movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fase em que o foguete está acelerando. A aceleração do foguete é dada por uma função do tempo:
a(t) = 5,00 , t , m/s² ²
Isso significa que a aceleração aumenta linearmente com o tempo durante os primeiros 8 segundos.

Passo 3

Para encontrar a velocidade do foguete ao final desses 8 segundos, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula da velocidade quando a aceleração é variável é:
v(t) = integral a(t) , dt + v0
Como o foguete parte do repouso, $ v_0 = 0 $. Então:
v0 = 0 ²²
Agora, substituímos $ t = 8,00 , s $:
v(t) = integral 5,00 , t , dt = 5,002 , t² = 2,50 , t²

Passo 4

Agora, vamos calcular a altura que o foguete alcança durante esses 8 segundos de aceleração. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
h(t) = integral v(t) , dt + h0
Como ele parte do ponto A, $ h_0 = 0 $. Então:
h0 = 0 ²³³
Substituindo $ t = 8,00 , s $:
h(t) = integral 2,50 , t² , dt = 2,503 , t³ approx 0,833 , t³

Passo 5

No instante que o foguete chega ao ponto B após 8 segundos, ele inclina-se 45° com a vertical e começa a queda livre. A velocidade nesse ponto é $ 160 , m/s $, e vamos considerar que essa é a velocidade inicial para a subida após a inclinação.
Como a inclinação é de 45°, as componentes vertical e horizontal da velocidade são iguais:
160 , m/s
Vamos focar na componente vertical ($ v_{y0} $) para calcular a altura adicional que o foguete alcança.

Passo 6

Para encontrar a altura adicional durante a subida após a inclinação, usamos a fórmula da altura máxima em movimento uniformemente variado:
v^2 = v0^2 + 2 , a , De
Aqui, a aceleração é a gravidade, que é $ a = -9,81 , m/s² $ (negativa porque está contra o movimento). A velocidade final no ponto mais alto será $ v = 0 $:
a = -9,81 , m/s²
Isolando $ \Delta h $:
v = 0

Passo 7

Agora, somamos a altura que o foguete alcançou durante os 8 segundos de aceleração com a altura adicional durante a subida após a inclinação:
hc = h(8) + De

Resposta

A altura máxima da trajetória do foguete é aproximadamente 1.078 metros.

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