Um foguete na posição
decola do repouso e se move verticalmente até
quando seu combustível acaba aos
. Durante esse tempo sua aceleração varia com
. Ao atingir o ponto
, o foguete inclina em um ângulo de
com a vertical e inicia um movimento de queda livre.
Calcule a altura máxima
da trajetória.
Calcule a altura máxima
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com cinemática, que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. Precisamos calcular a altura máxima que o foguete atinge após decolar. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração varia com o tempo e usar algumas fórmulas de movimento uniformemente variado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fase em que o foguete está acelerando. A aceleração do foguete é dada por uma função do tempo:
Isso significa que a aceleração aumenta linearmente com o tempo durante os primeiros 8 segundos.
Passo 3
Para encontrar a velocidade do foguete ao final desses 8 segundos, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula da velocidade quando a aceleração é variável é:
Como o foguete parte do repouso, $ v_0 = 0 $. Então:
Agora, substituímos $ t = 8,00 , s $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a altura que o foguete alcança durante esses 8 segundos de aceleração. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Como ele parte do ponto A, $ h_0 = 0 $. Então:
Substituindo $ t = 8,00 , s $:
Passo 5
No instante que o foguete chega ao ponto B após 8 segundos, ele inclina-se 45° com a vertical e começa a queda livre. A velocidade nesse ponto é $ 160 , m/s $, e vamos considerar que essa é a velocidade inicial para a subida após a inclinação.
Como a inclinação é de 45°, as componentes vertical e horizontal da velocidade são iguais:
Vamos focar na componente vertical ($ v_{y0} $) para calcular a altura adicional que o foguete alcança.
Passo 6
Para encontrar a altura adicional durante a subida após a inclinação, usamos a fórmula da altura máxima em movimento uniformemente variado:
Aqui, a aceleração é a gravidade, que é $ a = -9,81 , m/s² $ (negativa porque está contra o movimento). A velocidade final no ponto mais alto será $ v = 0 $:
Isolando $ \Delta h $:
Passo 7
Agora, somamos a altura que o foguete alcançou durante os 8 segundos de aceleração com a altura adicional durante a subida após a inclinação:
Resposta
A altura máxima da trajetória do foguete é aproximadamente 1.078 metros.