Um foguete na posição
decola do repouso e se move verticalmente até
quando seu combustível acaba aos
. Durante esse tempo sua aceleração varia com
. Ao atingir o ponto
, o foguete inclina em um ângulo de
com a vertical e inicia um movimento de queda livre.
Calcule o alcance R.
Calcule o alcance R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um foguete que decola do repouso e se move verticalmente até o ponto B quando seu combustível acaba após 8 segundos. A aceleração do foguete varia com a fórmula $ \mathbf{a} = 5,00 , t , \mathrm{m/s}^2 $. Quando chega em B, o foguete se inclina a 45° com a vertical e começa a cair livremente. Nosso objetivo é calcular o alcance $ R $, ou seja, a distância horizontal que o foguete percorre até cair no chão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento com aceleração variável, integração para encontrar a velocidade e posição, e depois analisar o movimento de projeção após o foguete se inclinar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do foguete ao final dos 8 segundos. Sabemos que a aceleração $ \mathbf{a} = 5,00 , t , \mathrm{m/s}^2 $ varia com o tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Como o foguete parte do repouso, a velocidade inicial $ v(0) = 0 $, então a constante $ C = 0 $. Assim, a velocidade após 8 segundos é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a altura alcançada pelo foguete ao final dos 8 segundos. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo para obter a posição.
Como o foguete parte do repouso e da posição inicial $ s(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $. Então, a altura após 8 segundos é:
Passo 4
Quando o foguete chega ao ponto B, após 8 segundos, ele se inclina a 45° com a vertical e começa a se mover como um projétil. Isso significa que a velocidade do foguete tem componentes horizontal e vertical iguais, já que o ângulo é de 45°. Portanto, a velocidade inicial para o movimento de projeção é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o movimento de projeção. A componente vertical da velocidade inicial é $ v_{y0} \approx 113,14 , \mathrm{m/s} $. A partir daí, o foguete vai subir até o ponto mais alto e depois descer até o solo. Vamos calcular o tempo total de voo durante essa fase.
A fórmula para o tempo total de voo em um movimento vertical é:
Onde $ g \approx 9,81 , \mathrm{m/s}^2 $ é a aceleração da gravidade. Então:
Passo 6
Com o tempo de voo calculado, podemos agora determinar o alcance horizontal $ R $. Como a velocidade horizontal $ v_{x0} $ é constante durante o voo (não há aceleração horizontal), a distância horizontal percorrida é:
Resposta
O alcance $ R $ do foguete é aproximadamente 2606 metros.