Um foguete na posição A decola do repouso e se move verticalmente até B quando seu combustível acaba aos 8,00 s. Durante esse tempo sua aceleração varia com a=5,00 t m / s^2. Ao atingir o ponto B, o foguete inclina em um ângulo de 45^circ com a vertical e inicia um movimento de queda livre.
Calcule o alcance R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um foguete que decola do repouso e se move verticalmente até o ponto B quando seu combustível acaba após 8 segundos. A aceleração do foguete varia com a fórmula $ \mathbf{a} = 5,00 , t , \mathrm{m/s}^2 $. Quando chega em B, o foguete se inclina a 45° com a vertical e começa a cair livremente. Nosso objetivo é calcular o alcance $ R $, ou seja, a distância horizontal que o foguete percorre até cair no chão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento com aceleração variável, integração para encontrar a velocidade e posição, e depois analisar o movimento de projeção após o foguete se inclinar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do foguete ao final dos 8 segundos. Sabemos que a aceleração $ \mathbf{a} = 5,00 , t , \mathrm{m/s}^2 $ varia com o tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
a = 5,00 , t , m/s^2
Como o foguete parte do repouso, a velocidade inicial $ v(0) = 0 $, então a constante $ C = 0 $. Assim, a velocidade após 8 segundos é:
v(t) = integral a(t) , dt = integral 5,00 , t , dt = 5,002 t^2 + C

Passo 3

Agora, vamos encontrar a altura alcançada pelo foguete ao final dos 8 segundos. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo para obter a posição.
s(t) = integral v(t) , dt = integral 5,002 t^2 , dt = 5,006 t^3 + C
Como o foguete parte do repouso e da posição inicial $ s(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $. Então, a altura após 8 segundos é:
s(0) = 0

Passo 4

Quando o foguete chega ao ponto B, após 8 segundos, ele se inclina a 45° com a vertical e começa a se mover como um projétil. Isso significa que a velocidade do foguete tem componentes horizontal e vertical iguais, já que o ângulo é de 45°. Portanto, a velocidade inicial para o movimento de projeção é:
vx0 = vy0 = v(8)raiz2 = 160raiz2 approx 113,14 , m/s

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento de projeção. A componente vertical da velocidade inicial é $ v_{y0} \approx 113,14 , \mathrm{m/s} $. A partir daí, o foguete vai subir até o ponto mais alto e depois descer até o solo. Vamos calcular o tempo total de voo durante essa fase.
A fórmula para o tempo total de voo em um movimento vertical é:
vy0 approx 113,14 , m/s ô
Onde $ g \approx 9,81 , \mathrm{m/s}^2 $ é a aceleração da gravidade. Então:
tvôo = 2 vy0g ô

Passo 6

Com o tempo de voo calculado, podemos agora determinar o alcance horizontal $ R $. Como a velocidade horizontal $ v_{x0} $ é constante durante o voo (não há aceleração horizontal), a distância horizontal percorrida é:
R ô

Resposta

O alcance $ R $ do foguete é aproximadamente 2606 metros.

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